Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cực hay, có lời giải - Toán lớp 12

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cực hay, có lời giải

Với Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Khi đó:

Hàm số nghịch biến trên K ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K

Hàm số đồng biến trên K ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm rời rạc trên K.

Chú ý:

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên dưới Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) < 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) nghịch biến trên K.

Nếu đồ thị hàm f'(x) nằm bên trên Ox trên khoảng K ⇒ f'(x) > 0; ∀ x ∈ K nên hàm f(x) đồng biến trên K.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải

Chọn D

Vì f'(x) > 0, ∀ x ∈ (-∞;-1)∪(0;1) nên hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-1) và (0;1).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

Ví dụ 3: ho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f'(x). Biết rằng hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Lời giải

Chọn B

Ta có f'(x) < 0 trên khoảng ( 0; +∞) nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng ( 0; +∞).

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1).

Lời giải:

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (-∞;-1) đạo hàm y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-∞;0).

B. (-1;1).

C. (-1;0).

D. (1;+∞).

Lời giải:

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;0).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0).

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).

A. 1   B. 2   C. 3   D. 4

Lời giải:

Chọn A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2); nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.

Ta thấy khoảng (-∞;-3) chứa khoảng (-∞;-5) nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai. ĐỒ THỊ HÀM

Bài 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞).

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞).

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3).

Lời giải:

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng(-∞;1) và (2;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)

Bài 5: Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2).

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-2;1).

D. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Lời giải:

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có:

f'(x) > 0 ⇔ x ∈ (-2;0)∪(2;+∞)và f'(x) < 0 ⇔ x ∈ (-∞;-2)∪(0;2).

Khi đó, hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-2;0), (2;+∞)

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-∞;-2),(0;2)

Bài 6: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên R

Lời giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x), ta thấy f'(x) > 0, ∀ x ∈ (1;+∞) suy ra hàm số f(x) đồng biến trên (1;+∞).

Bài 7: Hình bên là đồ thị của hàm số y = f'(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;+∞).

B. (1;2).

C. (0;1).

D. (0;1) và (2;+∞).

Lời giải:

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta thấy f'(x) > 0, ∀ x > 2 nên y = f(x) đồng biến trên khoảng (2;+∞).

Bài 8: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình bên dưới. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y = f(x)

Lời giải:

Chọn C

Ta thấy trên khoảng (0;3) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3).

Vì thế f(0) > f(3)

Bài 9: Hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số f'(x) trên R. Chọn đáp án đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;+∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;2).

Lời giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số f'(x) ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (-1;+∞).

Bài 10: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên khoảng:

A. (1;3).

B. (2;+∞).

C. (-2;1).

D. (-∞;2).

Lời giải:

Chọn C

Ta có: (f(2 - x))'=(2 - x)'.f'(2 - x) = -f'(2 - x)

Hàm số đồng biến khi

.

Vậy hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên các khoảng (-2;1) và (3;+∞).