Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước cực hay, có lời giải - Toán lớp 12

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước cực hay, có lời giải

Với Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Lý thuyết cần nhớ: Cho hàm số y = f(x,m) có tập xác định D, khoảng (a;b)⊂D:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.

Chú ý: Riêng hàm số thì:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a;b)

Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b):

Bước 1: Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặcf'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a;b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀ x ∈ (a;b).

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a;b).

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức g(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D, thế thì: .

Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì: .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số y = x³ + 3x² + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:

A. m ≤ 1

B. m ≥ 3

C. -1 ≤ m ≤ 3

D. m < 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = R

Tính đạo hàm y' = 3x² + 6x + m

Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ⇔ 3x² + 6x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R (*)

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 9 - 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx³ - x² + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3;0) là

Lời giải

Chọn A

TXĐ: D = R

Ta có y' = 3mx² - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0, ∀ x ∈ (-3;0) (Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3;0))

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải

Chọn C

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

y' > 0; ∀ x ∈ D ⇔ -m² - m + 2 > 0 ⇔ -2 < m < 1

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn A

TXĐ: D = R

Để hàm số y = f(x) đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 với mọi x ∈ R

Bài 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x² + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∈ R.

⇔ Δ' = m²-4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)

A. m > 2.

B. m ≤ 2.

C. m < 1.

D. m ≥ 1.

Lời giải:

Chọn D

TXĐ: D = R

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) ⇔ y' ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Ta có y' = x² + 2(m - 1)x + 2m - 3 = (x + 1)(x + 2m - 3) ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Do x > 1 nên (x + 1) > 0, nên (x + 2m - 3) ≥ 0 với mọi x > 1.

2m - 3 ≥ -x; ∀ x > 1 ⇔ 2m - 3 ≥ -1 ⇔ m ≥ 1.

Bài 4: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có y' = -x² + 2mx + 3m + 2.

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' ≤ 0, ∀ x ∈ R

Bài 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x⁴ + (2m - 3)x² + m nghịch biến trên khoảng (1;2) là tối giản và q > 0. Hỏi tổng p + q là?

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Lời giải:

Chọn C

Tập xác định D = R.

Ta có y' = -4x³ + 2(2m - 3)x.

Hàm số nghịch biến trên (1;2) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2).

⇔ -4x³ + 2(2m - 3)x ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) ⇔ -4x² + 4m - 6 ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) (do x > 0)

Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2). g'(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

Bài 6: Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

A. 1 < m < 2.

B. 1 ≤ m ≤ 2.

C. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1.

D. m > 2 hoặc m < 1.

Lời giải:

Chọn A

Bài 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Lời giải:

Chọn D

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải:

Chọn A

Do tan⁡x là hàm đồng biến trên khoảng nên ycbt ⇔ hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên (-1;1).

Lời giải:

Chọn C

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m - 3)x - (2m + 1)cos⁡x luôn nghịch biến trên R?

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định: D = R.

Ta có: y' = m - 3 + (2m + 1)sin⁡x

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ (2m + 1)sin⁡x ≤ 3-m, ∀ x ∈ R

Trường hợp 1: . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2:

Trường hợp 3: