Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện cực hay

Với Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Về phương trình

Phương trình bậc hai y = ax² + bx + c(a ≠ 0)

- Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂ thì ta có:

   - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

   - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

   - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x_o khi và chỉ khi

   - Các công thức cần nhớ

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x₁ , y₁) và B(x₂ , y₂) tùy ý ta có:

AB=√((x₂ -x₁ )² +(y₂ - y₁)² )

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(x_o , y_o) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức

d(M,Δ)= |Ax_o + By_o + C|/√(A² + B² )

Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:

S = (1/2)ah_a = (1/2)bh_b = (1/2)ch_c = abc/4R = pr

Trong đó:

    a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

    h_a, h_b, h_c là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.

    R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác.

    Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ - (3m + 2)x² + 3m (m là tham số) có đồ thị (C_m). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) và đường thẳng d

x⁴ - (3m + 2)x² + 3m = -1 ⇔ x⁴ - (3m + 2)x² + 3m + 1 = 0 ⇔

Để d cắt (C_m) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0}

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1)

Điều kiện x ≠ -2

Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)

⇔ 2x² - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

(d) cắt (C_m) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Đặt A(x₁ ; 2x₁ - 1); B(x₂ ; 2x₂ - 1) với x₁ ,x₂ là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

Khi đó AB = √((x₁ - x₂)² + 4(x₁ - x₂)² ) = √10 ⇔ 5[(x₁ + x₂ )² - 4x₁ x₂ ] = 10

⇔ ((m - 3)/2)² + 2 = 2

⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị cần tìm là m = 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ - 2x² + (1 - m)x + m có đồ thị (C_m). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (C_m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x₁ ,x₂ ,x³ thỏa mãn x₁² +x₂² +x³² =4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x³ - 2x² +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x² - x - m) = 0

(C_m) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Gọi x₁ = 1 còn x₂ ,x³ là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có

Vậy x₁² + x₂² + x³² = 4 ⇔ 1+(x₂ +x³)² -2x₂ x³=4

⇔ 1 + 1² + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 1 cắt đồ thị (H):y= (x + 1)/(x - 1) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (H).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H): (x + 1)/(x - 1) = mx + 1

Gọi A(x₁;y₁ ); B(xx₂; yx₂) lần lượt là giao điểm của (d) và (H) thì ta có x₁, xx₂ là các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Đồng thời do A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (H) nên ta phải có x₁ < 1 < xx₂ ⇔ (x₁ - 1)(xx₂ - 1) < 0

Khi đó f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x₁, xx₂ thỏa mãn (x₁ - 1)(xx₂-1) < 0

Vậy tập hợp các giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = (0; +∞)

Câu 2: Cho hàm số y = x³-3x²+(m-1)x+1 có đồ thị (C_m). Tìm m để đồ thị (C_m) cắt đường thẳng d: y = -x + 1 tại ba điểm A(0; 1),B,C sao cho BC = √10

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm x³ - 3x² + (m - 1)x + 1 = x + 1 (1) ⇔ x(x² - 3x + m - 2) = 0

(C_m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Đặt B(x₁; x₁ + 1); C(xx₂; xx₂ + 1) với x₁, xx₂ là hai nghiệm của cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

⇔ 9 - 4(m - 2) = 5 ⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Câu 3: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm k để đường thẳng d: y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = kx + 2k + 1 (1)

Điều kiện xác định x ≠ -1

Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(kx + 2k + 1 )

⇔ kx²+(3k - 1)x + 2k = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Khi đó đặt A(x₁; kx₁ + 2k + 1);B(xx₂; kxx₂ + 2k + 1) với x₁, xx₂ là hai nghiệm của cuả phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

Ta có d(A; Ox) = d(B; Ox) ⇔ |kx₁ + 2k + 1| = |kxx₂ + 2k + 1|

⇔ k(x₁+ xx₂) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = -3

Vậy k = -3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4: Cho hàm số y = (2x+1)/(x+1) (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là √3

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: (2x + 1)/(x + 1) = -2x + m (1)

Điều kiện xác định x ≠ -1

Khi đó phương trình (1) ⇔ 2x + 1 = (x + 1)(-2x + m )

⇔ 2x² + (4 - m)x + 1 - m = 0 (2) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.

Gọi A(x₁,y₁ ),B(xx₂,yx₂ ) trong đó y₁ = -2x₁ + m; yx₂ = -2xx₂ + m và x₁, xx₂ là các nghiệm của (2).

Theo định lí Vi ét ta có

Tính được :

Vậy các giá trị m cần tìm là m = 2; m = -2

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = x - 2m cắt đồ thị hàm số y= (x - 3)/(x + 1) (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm (x - 3)/(x + 1) = x - 2m (x ≠ -1)

⇔ x - 3 = (x - 2m)(x + 1) ⇔ x² - 2mx - 2m + 3 = 0 (*)

Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy giá trị tham số m cần tìm là 1 < m < 3/2

Câu 6: Tìm m, n để đường thẳng d: y = mx + 3n - 9 cắt đồ thị (H) của hàm số y = (3x + 1)/(x - 1) tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua gốc tọa độ O.

Lời giải:

Do A, B đối xứng qua O nên đường thẳng d phải đi qua O tức là 3n - 9 = 0⇔ n = 3

Khi đó phương trình đường thẳng d viết được dưới dạng y = mx

Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d:

Để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình f(x)=0 phải có hai nghiệm phân biệt x₁,xx₂ khác 1.

Mặt khác do A, B đối xứng qua O nên ta có x₁+xx₂=0⇔ (m + 3)/m = 0⇔ m = -3(loại)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 7: Tìm m để đường thẳng d: y = x - m cắt đồ thị (C_m): y = x³ + 3x² + mx - 3(m là tham số) tại ba điểm phân biệt x₁,₂,₃ sao cho biểu thức T = 2(x₁² + ₂² + ₃² ) + 3x₁² ₂²₃² - 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C_m ):

x³ + 3x² + mx - 3 = x - m ⇔ x³ + 3x² + (m - 1)x + m - 3 = 0

⇔ (x + 1)(x² + 2x + m - 3) = 0 ⇔

Để d cắt (C_m ) tại ba điểm phân biệt thì phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x₁,xx₂ khác -1 (ta đặt x₁ = -1)

Theo định lí Vi ét ta có

Do đó T = 2(x₁² + xx₂² + xx₃²) + 3x₁²xx₂²xx₃² - 5 = 2(1 + xx₂² + xx₃² ) + 3xx₂²xx₃² - 5

= 2 + 2[(xx₂ + xx₃)² - 2xx₂xx₃] + 3xx₂²xx₃²-5 = 2 + 2[4 - 2(m - 3)] + 3(m - 3)² - 5

= 3m² - 22m + 44 = 3(m - 11/3)² + 11/3 ≥ 11/3

Dấu bằng xảy ra khi m = 11/3. Vậy ta có min⁡T = 11/3 và m = 11/3 là giá trị cần tìm.