Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần cực hay - Toán lớp 12

---

Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần cực hay

Với Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫e^x sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫e^x sinx dx

F(x) = e^x sinx-∫e^x cosx dx = e^x sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫e^x cosx dx

G(x) = e^x cosx+∫e^x sinx dx+C'=e^x cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = e^x sinx-e^x cosx - F(x) - C'

Ghi nhớ: Gặp ∫e^mx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫e^mx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2^x dx

b)

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx = (x²-1) e^x-(2x.e^x - ∫2.e^x dx)

= (x²-1) e^x - 2x.e^x + 2.e^x+C = (x-1)² e^x + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b)

Hướng dẫn:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

b)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(1-x)cosxdx

Lời giải:

⇒ ∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx+∫sinxdx = (1-x)sinx-cosx+C.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x

Lời giải:

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x²cosx dx

Lời giải:

F(x) = ∫x²cosx dx.

F(x) = x²sinx - ∫2xsinxdx

F(x) = x²sinx - (-2xcosx+∫2cosxdx) = x²sinx+2xcosx-2sinx+C

Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫lnxdx

Lời giải:

Ta có ∫lnxdx = xlnx-∫dx = xlnx - x + C

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(x+2) e^2xdx

Lời giải:

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(4x-1)ln(x+1) dx

Lời giải:

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x²sin(1-3x)dx

Lời giải: