Tìm nguyên hàm của các hàm số sau căn x lnx dx

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau $\int \sqrt{x} \ln x d x$

A. $\frac{2}{- 3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

B. $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{4}{- 9} x^{\frac{3}{2}} + C$

C. $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln 2 x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

D. $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$

Trả lời:

Chọn D

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = \sqrt{x} d x \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \end{cases}$

$\Rightarrow \int \sqrt{x} \ln x d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{3}{2}} . \frac{d x}{x} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{2}{3} . \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln x - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C$