Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác bằng phương pháp đổi biến số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx

A. cos⁡(x² - x + 1) + c.

B. -2 cos⁡(x² - x + 1) + c.

C. -1/2 . cos⁡(x² - x + 1).

D. -cos⁡(x² - x + 1).

Lời giải

Ta có: sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x² - x + 1).(x² - x + 1)' dx

= sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

Đặt u = x² - x + 1 ta được:

⇒ I = ∫sin⁡(x² - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x² - x + 1).d(x² - x + 1)

I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x² - x + 1) + c

Chọn D.

Ví dụ 2. Tính I = ∫sin³x.cosx dx

Lời giải

Ta có: sin³x.cosx.dx = sin³x.d(sinx)

Đặt u = sinx ta được:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính:

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính

A. tanx - x + c.

B. tanx - x² + c.

C. xtanx + x + c.

D. xcotx – x + c.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 8. Tính

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 9. Tính I = ∫tan³xdx

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 10. Tính

A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 11. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính

Lời giải

Ví dụ 13. Tính

Lời giải

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính I = ∫cos⁡(x³ + 2).x² dx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau I = ∫sin³x.cos⁵xdx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 5: Tính ∫2tan⁡x dx bằng

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 6: Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Ta có: 2sin²x - 3sin2x + 2 = 2sin²x - 6.sinx.cosx + 2(sin²x + cos²x)

= 4sin²x – 6sinx.cosx + 2cos²x = 2(2sin²x – 3sinx.cosx + cos²x)

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

Lời giải:

Ta có: (sinx + 2cosx)³ = cos³x.(tanx + 2)³ nên:

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫(1 + cot²2x)e^cot2xdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x.dx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = tanx

Câu 13: Tính

Lời giải:

Chọn B.

Câu 14: Tính

Lời giải:

Chọn C.