Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm số mũ, logarit bằng phương pháp nguyên hàm từng phần từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

1. Định lí

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx. Viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdu.

2. Cách đặt

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫P(x).Q(x)dx

* Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính ∫x.lnx dx.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính ∫(x - 1)e^xdx.

A. (x - 1)e^x + e^x + C.

B. xe^x - e^x + C.

C. xe^x + C.

D. (x - 2)e^x + C.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tìm I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx.

A. I = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

B. I = (3x² - 7x)e^x + C.

C. I = (3x² - 7x + 8) + e^x + C.

D. I = (3x² - 7x + 3)e^x + C.

Lời giải

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Đặt u = 3x² - x + 1 và dv = e^xdx

⇒ du = (6x - 1)dx và v = e^x. Do đó:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - ∫(6x - 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x - 1 và dv₁ = e^xdx ta có du₁ = 6dx và v₁ = e^x. Do đó:

∫(6x - 1)e^xdx = (6x - 1)e^x - 6∫e^xdx = (6x - 1)e^x - 6e^x + C.

Từ đó suy ra:

I = ∫(3x² - x + 1)e^xdx = (3x² - x + 1)e^x - (6x - 7)e^x + C = (3x² - 7x + 8)e^x + C.

Chọn A.

Ví dụ 5. Nguyên hàm của hàm số bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 6. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số:

Biết F(1) = 0. Vậy F(x) bằng:

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 7. Hàm số f(x) = x.e^x có các nguyên hàm là:

Lời giải

Ta có: ∫x.e^xdx = ∫xd(e^x) = x.e^x - ∫e^xdx = x.e^x - e^x + C.

Chọn D.

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x²(3.lnx + 1).

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9. Họ nguyên hàm của hàm số qua phép đặt t = √x là:

A. F(t) = 2tln²t - 4t + C.

B. F(t) = 2tln²t + 4t + C.

C. 2tlnt² + 4t + C.

D. 2tlnt² - 4t + C.

Lời giải

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2tlnt² - 4t + C = 4tlnt - 4t + C.

Chọn D.

Ví dụ 10. Họ nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1 - 2x)e^xdx

A. e^x(2 - 3x) + C.

B. e^x(3 - 3x) + C.

C. e^x(3 - 2x) + C.

D. e^x(2 + 3x) + C.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx dx

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)e^2x.

A. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + 2x + C.

B. ∫f'(x)e^2xdx = -x² + x + C.

C. ∫f'(x)e^2xdx = 2x² - 2x + C.

D. ∫f'(x)e^2xdx = -2x² + 2x + C.

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ F'(x) = f(x).e^2x ⇔ (x²)' = f(x).e^2x ⇔ 2x = f(x).e^2x (1)

Đặt A = ∫f'(x).e^2xdx.

Đặt u = e^2x ⇒ du = 2.e^2xdx, dv = f’(x)dx. Chọn v = f(x)

⇒ A = e^2x.f(x) - 2∫f(x).e^2xdx = 2x - 2F(x) + C = -2x² + 2x + C.

Chọn D.

Ví dụ 14. Cho F(x) = (x - 1).e^x là một nguyên hàm của hàm số f(x).e^2x. Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x).e^2x.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 15. Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e^-xdx

A. -e^-x(2x - 1) + C.

B. -e^-x(2x + 1) + C.

C. -e^-x(2x + 5) + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính ∫x.2^xdx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 3: Tính ∫lnxdx bằng:

Lời giải:

Chọn D.

Câu 4: Tính ∫2xln(x - 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn C.

Câu 5: Nguyên hàm I = ∫xln(x + 1)dx bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x + ln(x + 1). Biết F(0) = 1, vậy F(x) bằng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x² - 1)e^x

Lời giải:

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng:

∫f(x).e^xdx = f(x).e^x - f'(x).e^x + f''(x).e^x - ... + f^(k).e^x + C.

∫(x² - 1)e^xdx = (x² - 1)e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x² - 2x + 1).e^x + C.

Chọn A.

Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = (3x² + 1)lnx

Lời giải:

Chọn A.

Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số f(x) = √x.lnx

Lời giải:

Chọn C.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: ∫x.lnxdx

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11: Hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x³.e^x2 và f(0) = 0. Chọn kết quả đúng:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 12: Cho là một nguyên hàm của hàm số . Tìm nguyên hàm của hàm số f'(x)lnx.

Lời giải:

Chọn A.