Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy - Toán lớp 12
Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Với Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Để xác định đường cao hình chóp, ta vận dụng định lí sau:
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB=2a√3 và ∠(SBC)=30º. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Kẻ SH vuông góc với BC
Xét tam giác SHB vuông tại H có:
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi H là trung điểm của AB
∆SAB đều nên SH ⊥ AB
(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có: ∆SAB đều cạnh a nên SH = a√3/2
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D. (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60º, AD = a. Tính thể tích của tứ diện ABCD
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC
Ta có: HD là hình chiếu vuông góc của DA lên mặt phẳng (BCD)
Do đó, góc giữa HD và mặt phẳng (BCD) là góc giữa AD và DH
⇒ ∠(ADH) =60º
Xét tam giác AHD vuông tại H có:
BCD là tam giác vuông cân tại D có DH là trung tuyến nên
BC=2DH=a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết SD=2a√5, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD
Tam giác SAB cân tại S có M là trung điểm của AB nên SM ⊥ AB
MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và MC
⇒ ∠(SCM) = 60º
Trong tam giác vuông SMC và SMD có:
Do ABCD là hình vuông nên MC = MD
Lại có:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Gọi H là hình chiếu của S lên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
Khi đó, ta có: góc giữa (SAB) và (SAC) với mặt đáy (ABC) lần lượt là các góc ∠(SEH ) và ∠(SFH )
⇒∠(SEH)=∠(SFH) = 60º
Xét các tam giác vuông SHE và SHF có:
Do HE = HF nên AH là phân giác của góc BAC.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC vuông cân tại S nên SH ⊥ BC.
Ta có:
Tam giác SBC vuông cân tại S, BC = a, SH là trung tuyến
⇒ SH=a/2
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Bài 2: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ BC.
Ta có:
Lại có: ABC và BCD là hai tam giác đều, chung cạnh BC nên chúng bằng nhau
⇒ AH=DH
Do đó, tam giác ADH vuông cân tại H, có AD = a
⇒ AH=a/√2
Mà ABC là tam giác đều nên:
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º. SBC là tam giác đều cạnh a là nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của BC. Do tam giác SBC đều nên SH ⊥ BC.
Ta có:
Xét tam giác ABC có ∠(BAC)=90º; ∠(ABC)=30º; BC = a nên:
SH là đường cao của tam giác đều cạnh a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60º, cạnh AC = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi M là trung điểm của AB. Do tam giác SAB vuông cân tại S nên SM ⊥ AB.
Ta có:
ABCD là hình thoi cạnh a có AC = a nên ta có:
Ta có: MC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa MC và SC
⇒ ∠(SCM)=60º
Xét tam giác vuông SMC có:
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB.
Ta có:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
⇒ OA=AC/2=a;OB=BD/2=2a
Xét tam giác OAB vuông tại O có:
Tam giác SAB đều cạnh a√5 có SH là đường cao
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB=a√3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đát. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi H là hình chiếu của S trên AB
⇒ SH ⊥ (ABCD)
Do đó, SH là đường cao của hình chóp S.BMDN
Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2
⇒ ∆SAB vuông tại S
⇒ SM=AB/2=a
∆ SAM có SA = AM = SM = a nên ∆ SAM đều
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, ∠(SBC)=60º, mặt phẳng (SAC) vuông góc với (ABC). Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AC, tam giác SAC cân tại S nên SH ⊥ AC
⇒ SH ⊥ (ABC). Đặt SH = h.
Ta có:
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45º. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)
HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa HC và SC
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, AB=a,BC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB
Do (ABC) ⊥ (SAB) nên SH ⊥ (ABC)
Do SAB là tam giác đều cạnh a nên
Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAD là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
+) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Vì tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy nên H là trung điểm AD. Gọi K là giao điểm HC và BM.
+) ∆CHD=∆BMC (c.g.c)
Mặt phẳng (SHK) vuông góc với BM là giao tuyến của (SBM) và (ABCD), đồng thời cắt 2 mặt phẳng này tại các giao tuyến SK và HK, suy ra góc giữa (SBM) và (ABCD) là góc giữa SK và HK.
