Cách tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều cực hay - Toán lớp 12

---

Cách tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều cực hay

Với Cách tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Khối lăng trụ đứng

Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Tính chất:

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

    + Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

    + Chiều cao là cạnh bên

2. Khối lăng trụ đều

Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất:

    + Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

    + Chiều cao là cạnh bên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A₁ B₁ C₁ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có BA = BC = 2a, biết A₁ M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A₁ B₁ C₁

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và ∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hướng dẫn:

Dựng A'M ⊥ BC, ta có:

Ta có:

Do AM ⊥ BC nên

Xét tam giác AAM vuông tại A có:

Bài 5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:

Hướng dẫn:

Ta có:AC ⊥ BD tại tâm O của hình vuông ABCD.

Mặt khác CC' ⊥ BD do đó BD ⊥ (COC')

Suy ra ((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60º

Lại có:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết BA = BC = 2a, và (A’BC) hợp với đáy một góc 30°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Khi đó:

Bài 2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3.

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’ là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ⇒ AA' ⊥ (ABC) và ∆ABC đều.

Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC đều cạnh a nên:

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a và đường chéo B’D của lăng trụ hợp với đáy (ABCD) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

BB' ⊥ (ABCD) nên BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD)

Do B’D hợp với đáy ABCD một góc 30º nên ta có:

Xét tam giác B’BD vuông tại B có:

Bài 5: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A'A ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2, A’C tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2

⇒ AB=AC=BC/√2=a

AA' ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC)

⇒ (A' C;(ABC))= ∠(A'CA)=60°

Xét tam giác A’AC vuông tại A có:

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy một góc 30° và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích lăng trụ.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên A'A ⊥ (ABC),

Giả sử ∆ABC đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC;AM=(a√3)/2

Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 8: Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a nên S_{(A' BC)} = (a² √3)/4

Khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a nên chiều cao

AA’ = a

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ∠(ACB)=120º và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Kẻ CP ⊥ AB (P ∈ (AB).

Ta có:

⇒ Hình chiếu vuông góc của CA’ trên mặt phẳng (ABB’A’) là CP

Mà

Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có: