Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1+t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$ .

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$  có tâm $I\left(0;-3;-6\right)$  bán kính $R=6$ .

$IA=6=R\Rightarrow A\in \left(S\right),IB=3\sqrt{10}>R$ nên B nằm ngoài (S).

Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) nên d nằm trong mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.

Mặt phẳng (P) đi qua A và nhận $\overrightarrow{IA}$  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x+2y+2z=0$ .

Gọi H là hình chiếu của B lên (P) thì tọa độ của $H\left(4;-1;-1\right)$ .

Ta có: $d\left(B;d\right)\ge d\left(B;\left(P\right)\right)=BH$ .

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H. Ta có $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{AH}=\left(2;-2;1\right)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1-2t\\ z=-2+t\end{array}\right.$ .

Chọn C.