Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc - Toán lớp 12

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

Với Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Phương pháp giải

1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là n_Q→, vecto chỉ phương của (d) là u→

2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là n_P→

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ

4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 60⁰. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(0;1;0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(0;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ B=0

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=±C

Chọn C=1, ta có A=±1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

x +z=0

-x +z=0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cos⁡α=√(3/6)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1;-1;-1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cos⁡α=√3/6

⇔ √3/6=

⇔ √3/6=

Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1

Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y -z -5 =0

4x +3y +z +1 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u→(2;1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=(4±2√3)B

Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0

(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình và mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 30⁰.

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 30⁰ nên ta có:

⇒ √3/2=

⇒ √3/2=

Với A=0, chọn B = 1; C = 1

Với A=B, chọn A =B =1; C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y +z -2 =0

x +y -2 =0