Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hàm số mũ, hàm số logarit từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số logarit

1. Phương pháp giải

+ Hàm số y = ax cần điều kiện là a là số thực dương và a khác 1.

+ Hàm số y = log_ax cần điều kiện:

• Số thực a dương và khác 1.

• x > 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = √(log₃(x − 2) − 3) ?

A. D = [29; + ∞ )    B. (29; + ∞)    C. D = (2; 29)    D. (2; + ∞)

Lời giải:

Đáp án: B

Hàm số xác định log₃(x − 2) − 3 ≥ 0

⇔ x ≥ 29

Tập xác định D = [29; + ∞)

Ví dụ 2. Gọi D là tập xác định của hàm số y=log_x+1 (25 − x²). Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập D?

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện

⇒ D = (− 1; 5)\ {0}

Mà x nguyên nên x ∈ {1; 2; 3; 4}

Vậy tập D có 4 giá trị nguyên.

Ví dụ 3. Cho hàm số có tập xác định là D. Khi đó có bao nhiêu số thuộc tập hợp D là số nguyên?

A. 5    B. 6    C. 7    D. 9

Lời giải:

Đáp án: B

⇒ D = [− 2; − 1 ) ∪ (2; 7]

Vậy các số nguyên thuộc tập hợp D là −2; 3; 4; 5; 6; 7 .

Ví dụ 4. Hàm số y = √(3 − 2^{x + 1} − 4^x) có tập xác định là

A. (−3; 1)    B. [0; + ∞] .    C. R    D. (−∞; 0) .

Lời giải:

Đáp án: D

Điều kiện xác định:

3 − 2^{x + 1} − 4x > 0

⇔ 2^2x + 2. 2^x − 3 (*)

Đặt 2^x = t (t > 0) khi đó, phương trình (*) trở thành:

t² + 2t − 3

Kết hợp điều kiện t > 0 ta có:

Do đó, 0 < 2^x

⇔ 2^x ≤

Vậy D = (−∞; 0]

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= ln (x² − 2mx + 4) có tập xác định D = R ?

Lời giải:

Đáp án: A

Hàm số có tập xác định là R khi và chỉ khi: x² – 2mx + 4 > 0

⇔ Δ' = m² − 4 < 0 ⇔ − 2 < m < 2

Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số xác định trên (2; 3).

A. 1 ≤ m ≤ 2    B. 1 m < ≤ 2    C. − 1 < m < 2    D. − 1 ≤ m ≤ 2

Lời giải:

Đáp án: A

Hàm số xác định

Suy ra, tập xác định của hàm số là D = (m; 2m + 1), với m ≥ − 1 (khi đó 2m + 1 ≥ m)

Hàm số xác định trên ( 2; 3) suy ra ⊂ D

⇔ 1 ≤ m ≤ 2

Dạng 2.

1. Phương pháp giải

+ Các hàm số y= a^x và y= log_ax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là :

Các giới hạn đặc biệt:

Và

* Mở rộng:

Và

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 3e     B. − 3e    C. 3 − e    D. e³

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

= 3e(−1) = −3e

Ví dụ 2. Tính

A. 2     B. 8     C. 6     D. 0

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

= 4 . 1 − 2 . 1 = 2

Ví dụ 3. Tính

A. 0     B. 1     C. 2     D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

= 0 . 1 = 0

Ví dụ 4. Tính

A. 0     B. 1     C. − 1     D. 2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

= 2 . 1 = 0

Ví dụ 5. Tính

A. 1     B. 2     C. 0     D. 3

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

= 1 + 2 . 1 = 3

Dạng 3. Tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit

1. Phương pháp giải

Bảng tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit.

Hàm sơ cấp	Hàm số hợp
(ex)' = ex	(eu)' = u' . eu
(ax)' = axlna	(au)' = u' . au . lna

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số y= log₂( 3x² + 1) là

Lời giải:

Đáp án: C

Áp dụng công thức , ta được :

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số là

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số y = ln|x − 2| + 2^x là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Do đó

Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số là

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Do đó

Dạng 4. Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số mũ, hàm số logarit.

1. Phương pháp giải

Áp dụng những kiến thức đã học ở chương I để tìm các khoảng đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số....

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x)= 2x² − ln (3 − 4x) trên đoạn [−2; 0]?

A. 8 − ln 11    B. 6 + ln 3    C. 9 + ln 2    D. 10 − ln15

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: 3 − 4x > 0

Ta có:

Xét f(x) trên khoảng trên [-2; 0] ta có:

Hàm số liên tục và khả vi trên đoạn [-2; 0]

Ta có: f(− 2) = 8 − ln11; f(0) = −ln3

Do vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 8 − ln11 khi x = − 2.

Ví dụ 2. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số

A. Hàm số có một điểm cực tiểu.

B. Hàm số có một điểm cực đại.

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

Đáp án: B

Tập xác định D = (0; +∞); ;y = 0 ⇔ lnx = 1 ⇔ x = e

Hàm y’ đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = e nên x = e là điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ 3. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên R

Lời giải:

Đáp án: B

+ Hàm số và y = (3 − 2√2)^x có 0 < a < 1 nên nghịch biến trên R.

+ Hàm số có nên nó đồng biến trên R.

+ Hàm số y = 4^x − 2^x có y’= 4^x.ln4 – 2^x. ln2 = 2^x. ln2 ( 2. 2^x − 1)

Phương trình y’ = 0 ⇔ 2. 2^x − 1 = 0 ⇔ 2^x = 2⁻¹ ⇔ x = −1.

Qua điểm x = − 1 ta thấy y’ đổi dấu nên hàm số y= 4^x − 2^x không đồng biến trên R

Ví dụ 4. Cho hàm số . Tất cả các giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên R là

A. m ≥ 1    B. m ≤ 1    C. m < 1    D. m > 1

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có .

Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y' > 0, ∀x ∈ R .

Đặt t = 2^x (t > 0). Khi đó, y’= (m − 1)t² + 2t + m + 1.

Ta có

y' = (m − 1)t² + 2t + m + 1 ≥ 0, ∈t > 0

Ta có .

Bảng biến thiên

Qua bảng biến thiên, ta thấy

Vậy (*) xảy ra khi m ≥ 1 .

Ví dụ 5. Đồ thị hàm số trong hình bên là đồ thị hàm số nào trong cáo hàm số dưới đây

Lời giải:

Đáp án: C

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

* Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là R.(loại A và B)

* Hàm số đã cho nhận trục là đường tiệm cận ngang ( loại D ).

Ví dụ 6. Đồ thị hàm số trong hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số dưới đây

Lời giải:

Đáp án: B

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

* Hàm số đã cho phải là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là (0; ∞) (loại C và D)

* Hàm số đã cho nhận trục Oy là đường tiệm cận ngang (loại A)

Ví dụ 7. Trong hình vẽ bên đồ thị (1) là của hàm số y = log_ax và đồ thị (2) là của hàm số y = log_bx. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. a > b > 1    B. b > a > 1

C. 1 > a > b > 0    D. 1 > b > a > 0

Lời giải:

Đáp án: B

* Dựa vào đồ thị ta thấy 2 hàm số đã cho phải là 2 hàm đồng biến nên a > 1; b > 1

* Mặt khác chọn x = 2 ta có:

Do đó; b > a > 1