Bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng)

Với Bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải (6 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1. Giải phương trình mũ cơ bản

1. Phương pháp giải

Cho phương trình a^f(x) = b ( a > 0 và a ≠ 1)

+ Nếu b le; 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm .

+ Nếu b > 0 thì phương trình đã cho tương đương f(x)= log_ab .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình 22x+ 1 = - 2

A. (0; +∞)     B. (− ∞; −1)     C. R     D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có: −2 < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2. Phương trình 3^x+1 = 27 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 0     B. 1     C. 2     D.3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 3^{x + 1} = 27 3^{x + 1} = 3³

⇔x + 1 = 3 ⇔ x = 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nguyên âm.

Ví dụ 3. Phương trình 5^x = 10 có nghiệm x = 1+ log₅a. Tìm a?

A. a = 1     B.a = 2     C.a = 5     D.a = 10

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: 5^x = 10, lấy loga cơ số 5 hai vế ta được:

⇔x = log₅10 = 1 + log₅2

Vậy a= 2.

Ví dụ 4. Giải phương trình 4^{2x + 1} = 12.

A. x = log₄3     B. x = log₂3     C. x = log₁₆3     D. x = log₈3

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có: 4^{2x+ 1} = 12, lấy loga cơ số 4 hai vế ta được;

2x + 1= log₄12 ⇔ 2x + 1 = 1 + log₄3

⇔ 2x= log₄3

Dạng 2. Đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp giải

a^f(x) = a^g(x) ⇔ a = 1 hoặc .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình 2^{x2 − 3x + 6} = 2^{x + 3}

A.x = 1; x = 2    B. x = −1; x = 2     C. x = 1; x = 3    D. x = −1; x = 3

Lời giải:

Đáp án: C

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Ta có: 2^{x2 − 3x + 6} = 2^{x + 3}

⇔ x² − 3x + 6 = x + 3

⇔ x² − 4x + 3= 0

⇔ x = 1 hoặc x = 3

Ví dụ 2. Biết rằng phương trình 2^{x2 − x + 4} = 4^{x + 1} có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 ( x1 > x2). Tính giá trị của biểu thức S = x₁⁴ + 2x₂⁴

A. S = 18    B. S = 83    C. S = 21    D. S = 30

Lời giải:

Đáp án: A

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Ta có: 2^{x2 − x + 4} = 4^{x + 1} ⇔ 2^{x2 − x + 4} = (2²)^{x + 1}

2^{x2 − x + 4} = 2^{2(x + 1)}

x² − x+ 4 = 2( x+ 1) ⇔ x² − 3x + 2 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = 2

Do đó, x₁ = 2 và x₂ = 1. Suy ra, S = 24 + 2. 14 = 18

Ví dụ 3. Phương trình 2^{8 − x2} . 5^{8 − x2} = 0,001.(10⁵)^{1 − x} có tổng các nghiệm là:

A. 5.    B. 7.    C. − 7    D. −5

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có :

2^{8 − x2} . 5^{8 − x2} = 0,001.(10⁵)^{1 − x}

⇔ (2.5)^{8 − x2} = 10⁻³ . 10^{5 − 5x} ⇔ 10^{8 − x2} = 10^{2 − 5x}

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình đã cho là : −1+ 6 = 5.

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình 9^{x2 − 10x + 11} = 81 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Tính S= x₁ + x₂

A. 8    B.10    C. 6    D.12

Lời giải:

Đáp án: B

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Ta có : 9^{x2 − 10x + 11} = 81 ⇔ (3²)^{x2 − 10x + 11} = 3⁴

⇔(3²)^{x2 − 10x + 11} = 3⁴ ⇔ 2. (x² − 10x + 11) = 4

⇔ 2x² − 20 x + 22 − 4= 0 ⇔ 2x² − 20x + 18 =0

⇔x = 1 hoặc x = 9. Do đó , tổng hai nghiệm của phương trình đã cho là S = 10

Ví dụ 5. Cho phương trình : . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.

B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .

C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.

D. Phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Đáp án: A

Nghiệm của phương trình là:

Khi đó

Dạng 3. Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp giải

f[a^g(x)] = 0 (0 < a ≠ 1)

Ta thường gặp các dạng:

● m.a^2f(x) + n.a^f(x) + p = 0 ta đặt t = a f(x) ( t > 0 ).

Khi đó, phương trình đã cho có dạng m.t² + nt + p= 0 .

● m.a^f(x) + n.b^f()x) + p = 0, trong đó ab = 1. Đặt t = a^f(x),( t> 0);suy ra

● m.a^2f(x) + n. (ab)^f(x) + p.b^2f(x) = 0. Chia hai vế cho b^2f(x) và đặt .

• Phương trình dạng Aa^{3x + m} + Ba^{2x + n} + Ca^{x + p} + D = 0

+ Ta biến đổi Aa^m.(a^x)³ + Baⁿ.(a^x)² + Ca^pa^x + D = 0

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn t= a^x ,(t > 0 ), ta bấm máy tính tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện.

+ Lưu ý biến dạng a^2x = (a²)^x, a^3x = (a³)^x và ta có thể biến x thành một hàm f(x)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình có bao nhiêu nghiệm âm?

A.1.    B. 3.    C. 2.    D. 0.

Lời giải:

Đáp án: A

Phương trình đã cho xác đinh với mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt (t > 0) . Phương trình trở thành :

3t = 2 + t² ⇔ t² − 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2

● Với t= 1, ta được

● Với t= 2, ta được

Vậy phương trình có một nghiệm âm.

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình là:

A.2    B. 4.    C. 1.    D. 0

Lời giải:

Đáp án: A

Phương trình đã cho xác định với mọi x.

Phương trình tương đương với

Đặt t = 3x ( t > 0). Phương trình trở thành t² − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3

● Với t = 1, ta được 3^x = 1 ⇔ x = 0.

● Với t = 3, ta được 3^x = 3 ⇔ x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1.

Ví dụ 3. Cho phương trình 4.4^x − 9. 2^x+1 + 8 = 0 . Gọi x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x₁.x₂ bằng :

A. − 2    B. 2    C. − 1    D. 1

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 4.4^x − 9. 2^x+1 + 8 =0 ⇔ 4. (2²)^x − 9.2.2^x + 8 = 0

⇔ 4. 2^2x − 18.2^x + 8 = 0

Đặt t= 2^x ( t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

4t² − 18t + 8 = 0

Vậy tích 2 nghiệm phương trình đã cho là: S= 2.(−1)= − 2.

Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình 6.4^x − 13. 6^x + 6. 9^x = 0 là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 6.4^x − 13. 6^x + 6. 9^x = 0

Chia cả hai vế phương trình cho 4^x > 0 ta được:

Đặt , khi đó phương trình trên trở thành:

6t² − 13t + 6 = 0

Ví dụ 5. Phương trình (7 + 4√3)^x + (2 + √3)^x có nghiệm là:

A. x = log_{(2 + √3)}2    B. x = log₂3    C. x = log₂(2 + √3)    D. x = log₃2

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 7 + 4√3 = (2 + √3)²

Do đó, phương trình đã cho trở thành:

(2 + √3)^2x + (2 + √3)^x = 6

Đặt t = (2 + √3)^x( t > 0 ), khi đó phương trình trên tương đương với:

t² + t = 6

⇔ 2 = (2 + √3)^x ⇔ x = log_{(2 + √3)}2

Dạng 4. Phương trình tích

1. Phương pháp giải

Để giải phương trình mũ ta có thể dùng các phương pháp phân tích biểu thức thành nhân tử; đưa về phương trình tích.

Sau đó, áp dụng phương pháp logarit hóa; phương pháp đưa về cùng cơ số...

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình 12. 3^x + 3. 15^x − 5^{x+ 1} = 20 là:

A. x = log₃5 − 1    B. x = log_>35    C.x = log₃5 + 1.    D. x = log₅3 − 1

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 12 . 3^x + 3 . 15^x − 5^{x + 1} = 20

⇔ ( 12.3^x + 3.15^x ) − (5^{x+ 1} + 20) = 0

⇔ 3.3^x ( 4 + 5^x) − 5. ( 5^x +4) = 0

⇔ ( 3.3^x − 5) . (4 + 5^x) = 0

⇔ 3^{x + 1} − 5 = 0 ( vì 4+ 5x > 0 với mọi x)

⇔ 3^x+1 = 5 ⇔ x + 1 = log₃5

⇔ x = log³5 − 1

Ví dụ 2. Phương trình sau có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên 4^{x2 − 3x + 2} + 4^{x2 + 6x + 5} = 4^{2x2 + 3x + 7} + 1.

A. 2    B. 3     C. 4    D.1.

Lời giải:

Đáp án: A

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên phân biệt.

Ví dụ 3. Phương trình 2^{x − 3} = 3^{x2 − 5x + 6} có bao nhiêu nghiệm không nguyên?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3.

Lời giải:

Đáp án: B

Theo đầu bài ta có: 2^{x − 3} = 3^{x2 − 5x + 6}

Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: log₂2^{x − 3} = log₂3^{x2 − 5x + 6}

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm không nguyên

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁, x₂ .Tổng x₁ + x₂ có dạng ,với a,b ∈ N* và là phân số tối giản. Tính S = a+ 2b

A. S= 95    B. S= 169    C. S= 32    D. S= 43

Lời giải:

Đáp án: B

Điều kiện: x ∈ R (*)

Phương trình

Do đó: x₁ + x₂ = 2 − log₉7 = log₉81 − log₉7

Ví dụ 5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁; x₂. Tính giá trị của biểu thức S = x₁ + x₂

Lời giải:

Đáp án: D

Điều kiện: x ≠ −2 (*)

Phương trình

Do đó S = x₁ + x₂ = −1 − log₂3 = −log₂3 − log₂2 = −log₂6

Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và phương pháp đánh giá.

1. Phương pháp giải

o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (a; b) không nhiều hơn một và f(u) = f( v) ⇔ u = v ∀u,v ∈ (a; b)

o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.

o Tính chất 3. Nếu hàm số y =f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v ( hoặc u < v).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình (√3 − √2)^x + (√3 + √2)^x = (√10)^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 0

Lời giải:

Đáp án: A

Xét hàm số

Hàm số f(x) nghịch biến trên R do các cơ số

Do đó, nếu phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ta thấy f(2) =1 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Ví dụ 2. Phương trình 3^2x +2x (3^x + 1) − 4. 3^x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?

A. 1    B. 2    C. 0    D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: 3^2x +2x (3^x + 1) − 4. 3^x − 5 = 0

⇔ 3^x + 2x − 5 = 0 ( vì 3^x + 1 > 0 với mọi x)

Xét hàm số f(x) = 3^x + 2x − 5 ; f'(x) = 3^xln3 + 2 > 0; ∀x ∈ R.

Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó, phương trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Lại có, f(1) = 0 nên nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1.

Ví dụ 3. Phương trình 4^x + 2^x (x − 7) − 4x + 12= 0 có số nghiệm là?

A. 0    B. 1    C. 3    D. 2

Lời giải:

Đáp án: D

Đặt t= 2x ( t > 0) phương trình đã cho thành: t² + (x − 7)t − 4x + 12= 0 (1)

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta có

Δ = (x − 7)² − 4(−4x + 12) = x² + 2x + 1 = (x + 1)² ≥ 0

Do đó (1)

+ TH1. Nếu t = 4 thì 2^x = 4 ⇔ x = 2

+ TH2. Nếu t = 3 - x thì 2^x = 3- x , theo ví dụ trên ta được x= 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2.

Ví dụ 4. Biết rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt là x₁, x₂ ( x₁ > x₂). Nghiệm x₁ có dạng , với a,b ∈ Z . Tính S= a⁴ + 10ab

A. S= 11    B. S= − 9    C. S= 575    D. S= 675

Lời giải:

Đáp án: D

Điều kiện: x ≠ R (*)

Để ý: (2x² − 4x + 3) − (x² + x − 2) = x² − 5x + 5

Ta biến đổi phương trình

⇔ f(2x² − 4x + 3)= f(x² + x − 2) (1)

Xét hàm số f(t) = 2^t + 3t với t ∈ R có f’(t) = 2^t.ln2 + 3 > 0 với mọi t.

Suy ra, hàm số f(t) đồng biến trên R nên (1)

Ví dụ 5. Phương trình 2^{x2 + 1} + 3^{x2 + 2} = 5(sinx + cosx) có số nghiệm là ?.

A. 2    B. 1    C. 0    D. 3

Lời giải:

Đáp án: C

Điều kiện: x ≠ R (*)

Ta có 2^{x2 + 1} + 3^{x2 + 2} ≥ 2^{0 + 1} + 3^{0 + 2} = 11, ∀x ∈ R.

Mà 5(sinx + cosx) ≤ 5(1 + 1) = 10, ∀x ∈ R

=> 2^{x2 + 1} + 3^{x2 + 2} > 5(sinx + cosx) => phương trình vô nghiệm .

Dạng 6. Bài toán tìm tham số m thỏa mãn điều kiện T.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình (2 + √3)^x + (2 − √3)^x = m vô nghiệm?

A. m ≤ 2    B . m > 2    C. m = 2    D. m < 2

Lời giải:

Đáp án: D

Nhận xét: (2 + √3) + (2 − √3) = 1 ⇔ (2 + √3)^x + (2 − √3)^x = 1 .

Đặt t = (2 + √3)^x.

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Xét hàm số xác định và liên tục trên (0; +∞).

Ta có:

Cho

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, nếu m < 2 thì phương trình (1’) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.

Ví dụ 2. Với giá trị của tham số m thì phương trình: (m + 1).16^x − 2.(2m − 3).4^x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt 4^x = t > 0. Phương trình đã cho trở thành: (m + 1).t² − 2( 2m − 3)t + 6m + 5= 0 (*)

Đặt f(t) = ( m + 1)t² − 2 (2m − 3)t + 6m + 5

Yêu cầu bài toán ⇔(*) có hai nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0 < t₁ < 1 < t₂

Ví dụ 3. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4^x − m. 2^x+1 +2m = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁ + x₂ = 3?

A. m= − 2    B. m = 4    C. m = 1    D. m = 3

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: 4^x − m. 2^x+1 +2m = 0 ⇔ (2^x)² − 2m.2^x + 2m = 0 (*)

Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2^x có: Δ' = (−m)² − 2m = m² − 2m

Phương trình (*) có nghiệm ⇔ m² − 2m ≥ 0 ⇔ m(m − 2) ≥ 0

Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2^x₁. 2^x₂ = 2m ⇔ 2^{x₁ + x₂} = 2m

Do đó; x₁ + x₂ = 3 ⇔ 2³ = 2m ⇔ m = 4.

Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn.

Ví dụ 4. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 6^x +( 3 − m).2^x − m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

A. [3; 4]    B. [2; 4]    C. (2; 4)    D. (3; 4)

Lời giải:

Đáp án: C

Phương trình tương đương: m(2^x + 1) = 6^x + 3 . 2^x.

Xét hàm số

Ta có:

Suy ra, f(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 1) thì f(0) < f(x) < f(1)

Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình √(3^x + 3)+ √(5 − 3^x) = m có nghiệm.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Điều kiện: 5 − 3^x ≥ 0 ⇔ 3^x ≤ 5 ⇔ x ≤ log₃5

Xét hàm số f(x) = √(3^x + 3) + √(5 − 3^x), x ∈ (−∞; log₃5)

Ta có:

BBT:

Số nghiệm của √(3^x + 3)+ √(5 − 3^x) = m (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng y = m

Vậy để (*) có nghiệm thì