Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải - Toán lớp 12

---

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Với Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Bất phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Phương pháp giải

• Bất phương trình dạng a^f(x) > a^g(x) (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu a > 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x).

+ Nếu 0 < a < 1 thì a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x).

• Bất phương trình dạng a^f(x) > b (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu b ≤ 0 thì a^x > b ⇔ x ∈ R

+ Nếu a > 1 thì a^x > b ⇔ x > log_ab

+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì a^x > b ⇔ x < log_ab

• Bất phương trình dạng a^x > b (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu b ≤ 0 thì a^x < b ⇔ x ∈ ø

+ Nếu a > 1; b > 0 thì a^x < b ⇔ x < log_ab

+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì a^x < b ⇔ x > log_a b

* Tương tự với bất phương trình dạng:

* Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: a^M > a^N ⇔ (a − 1)(M − N) > 0.

* Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y= f( x) có tập xác định D:

Nếu hàm số đồng biến trên D thì f(u) < f(v) ⇔ u < v.

Nếu hàm số nghịch biến trên D thì f(u) < f (v) ⇔ u > v.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3^{x2 − 9x + 6} > 3^{x − 3}

A. 1 < x < 9    B. x > 1    C. x < 9    D. x > 9 hoặc x < 1

Lời giải:

Đáp án: D

Bất phương trình 3^{x2 − 9x + 6} > 3^{x − 3}

⇔ x² − 9x + 6 > x − 3 (vì cơ số 3 > 1).

⇔ x² − 10x + 9 > 0

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình

A. 6    B. 8    C. 7    D. 9

Lời giải:

Đáp án: C

Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có:

⇔ x² − 6x + 4 < 4x − 5 (vì cơ số )

⇔ x² − 10x+ 9 < 0 hay 1 < x < 9

Mà x nguyên nên x ∈ { 2, 3, 4.., 7, 8}. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thỏa mãn.

Ví dụ 3. Bất phương trình 4^{x2 − 6x − 16} > 16^{x + 2} có số nghiệm nguyên dương ?

A.11    B. 0    C.1    D. Vô số.

Lời giải:

Đáp án: D

Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có: 4^{x2 − 6x − 16} > 16^{x + 2} ⇔ 4^{x2 − 6x − 16} > 4^{2(x + 2)}

Do cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình : x² − 6x − 16 > 2(x + 2)

⇔ x² − 8x − 20 > 0

x < −2 hoặc x > 10

Do đó, bất phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình 3^2x+1 > 10

Lời giải:

Đáp án: B

Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có: 3^2x+1 > 10 ⇔ 2x + 1 > log₃10

⇔ 2x > log₃10 − 1

Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2^x + 2^x+1 > 3^x + 3^{x+ 2}

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x ∈ R (*)

Bất phương trình: 2^x + 2^x+1 > 3^x + 3^{x+ 2}

Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình là

A. x ∈ (−∞; 5).    B. x ∈ (−∞; 5)    C. x ∈ (−5; +∞)    D. x ∈ (5; +∞)

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình là

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x ≠ −1

Ta có:

Kết hợp với điều kiện

Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình 16^x − 4^x − 6 ≤ 0 là

A. x ≤ log₄3.    B. x > log₄3.    C. x ≥ 1.    D. x ≥ 3

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x ≠ −1

Ta có: 16^x − 4^x − 6 ≤ 0 ⇔ 4^2x − 4^x − 6 ≤ 0

Đặt t= 4^x ( t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

t² − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3

Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log₄3

Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t= 3^x > 0, khi đó ( *) trở thành:

Ví dụ 10. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đặt t=3^x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Đặt t=2^x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 13. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Ví dụ 14. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt . Khi đó, phương trình ( *) trở thành:

Ví dụ 15. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt . Khi đó, phương trình ( *) trở thành:

Ví dụ 16. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Ví dụ 17. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Lời giải:

Đáp án: C

Điều kiện: x ≥ 0

Đặt t = 2^√x. Do x ≥ 0 => t ≥ 1

Ví dụ 18. Cho bất phương trình: . Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

A. S = (−1; 0] ∪ (1; +∞)    B. S = (−1; 0] ∩ (1; +∞)

C. S = (−∞; 0]    D. S = (−∞; 0)

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x ≠ ±1

Đặt t = 5^x. BPT(1)

Đặt

Lập bảng xét dấu , ta được nghiệm của BPT (*) là:

Vậy tập nghiệm của BPT là S = (−1; 0] ∪ (1; +∞)

Ví dụ 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?

A. m ≤ 2.    B. m ≥ 4.    C. m ≤ 4.    D. m ≥ 1

Lời giải:

Đáp án: C

Chia hai vế của bất phương trình cho 3^sin2x > 0 , ta được

Xét hàm số là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0 ≤ sin²x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4.

Ví dụ 20. Cho bất phương trình: 9^x + ( m − 1).3^x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀x > 1 .

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t = 3^x ( t > 0) .Vì x > 1 nên t > 3.

Bất phương trình đã cho thành: t² + (m − 1)t + m > 0 nghiệm đúng ∀t ≥ 3

nghiệm đúng ∀t > 3 .

Xét hàm số

Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và .

Yêu cầu bài toán tương đương

Ví dụ 21. Cho hàm số và g(x)=5^x + 4^x. ln5. Giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho f’(x) < g’(x) là.

A. −2    B. −1    C. 1    D. 2

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Khi đó: f’(x) < g’(x) ⇔ 5^2x+1.ln 5 < (5^x + 4).ln 5

⇔ 5^2x+1 < 5^x +4 ⇔ 5.5^2x − 5^x − 4 < 0

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn đầu bài là x = −1.

Ví dụ 22. Gọi x₀ là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình . Tìm x₀ ?

Lời giải:

Đáp án: C

Bất phương trình tương đương:

Do đó,nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là x₀ = 2.

Ví dụ 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là.

A. 2    B. 4    C. 3    D. vô số.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta thấy: (3 − 2√2).(3 + 2√2) = 9 − 8 = 1 nên:

Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên .

Ví dụ 24. Cho bất phương trình . Gọi x₁, x₂ lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất phương trình. Khi đó x₁ + x₂ bằng bao nhiêu?

A. < 2    B. 1    C. 0    D. < 1

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

nên:

Do đó, nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là 3 và −4. Suy ra, x₁ + x₂ = −1

Ví dụ 25. Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình: 9^x − 2(m + 1).3^x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R

A. m = −1    B.m = −2    C. m = 0    D. m = −3

Lời giải:

Đáp án: A

Đặt t= 3^x ; (t > 0).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình:

t² − 2(m + 1)t − 3 − 2m > 0 đúng với mọi m (*)

Cách 1:

Suy ra, số nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là m = −1.

Cách 2:

Ví dụ 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4^x − 2^x − m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x

Lời giải:

Đáp án: C

Đặt t =2^x ( t > 0). Khi đó bất phương trình có dạng: t² < t < m ≥ 0

Ta có

BBT:

Khi đó:

Vậy