X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) - Toán lớp 12


Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Với Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Bất phương trình logarit từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình lôgarit

1. Phương pháp giải

Biểu thức loga f(x) xác định khi:

+ a > 0; a ≠ 1

+ f(x) > 0 và f(x) có nghĩa.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điều kiện xác định của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: C

Bất phương trình xác định khi:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 2. Điều kiện xác định của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

A. 2 < x < 5    B. 1 < x < 2.    C. 2 < x < 3    D. −4 < x < 3

Lời giải:

Đáp án: A

Bất phương trình xác định khi:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 3. Điều kiện xác định của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

A. x ∈ [−1; 1] .    B. x ∈ (−1; 0) ∪ (0; 1) .

C. x ∈ (−1; 1) ∪ (2; +∞).    D. x ∈ (−1; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Bất phương trình xác định khi:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Dạng 2. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp giải

Cho bất phương trình logax < m với x > 0 (1)

+ Nếu 0 < a < 1 thì (1) x > am.

+ Nếu a > 1 thì (1) x < am

Chú ý: Kết hợp với điều kiện xác định khi giải bất phương trình.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải bất phương trình: log5 (x − 2) + 2log25 x > log53.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: C

Điều kiện:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Với điều kiện trên, bất phương trình trở thành:

log5 (x − 2) + log5x > log53

⇔ log5 ( x − 2).x > log53 ⇔ (x − 2).x > 3

⇔ x2 − 2x − 3 > 0

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Kết hợp với điều kiện ta được, x > 3

Ví dụ 2. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2(log4x) ≥ log4(log2x) là:

A. 6.    B. 10.    C. 8.    D. 16.

Lời giải:

Đáp án: D

BPT

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 3. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) là:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

BPT

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Do đó, x = 0 là nghiệm nguyên nhỏ nhất.

Ví dụ 4. Bất phương trình logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 có tập nghiệm là:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

+ Điều kiện : log3 (9x − 72) > 0 ⇔ 9x − 72 > 1

⇔ 9x > 73 ⇔ x > log3√73

+ Với điều kiện trên ta có :

logx(log3(9x − 72)) ≤ 1 ⇔ log3(9x − 72) < x ⇔ 9x − 3x − 72 ≤ 0; (*)

Đặt t = 3x ; (t > 0). Khi đó, bất phương trình (*) trở thành :

t2 − t − 72 < 0 ⇔ − 8 < t < 9

Kết hợp điều kiện t > 0 nên 0 < t < 9.

Suy ra, 0 < 3x < 9 ⇔ x < 2.

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [log3√73; 2] .

Ví dụ 5. Giải bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: C

Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ 3

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Đặt t = log3x thì (*) trở thành: t ( t-1) > 0

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Dạng 3. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bất phương trình log0,22x − 5log0,2x < −6 có tập nghiệm là:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x > 0

Đặt t = log0,2x. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành:

t2 − 5t < − 6 ⇔ t2 − 5t + 6 < 0 hay 2 < t < 3.

Khi đó, ta có: 2 < log0,2x < 3 Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 2. Giải bất phương trình log3(4 . 3x − 1) > 2x − 1 :

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Bất phương trình đã cho luôn xác định với mọi x.

Ta có: log3 (4. 3x−1) > 2x − 1

⇔ 4.3x − 1 > 32x − 1 ⇔ 32x − 4. 3x < 0 (*)

Đặt t = 3x ( t > 0). Khi đó, phương trình (*) trở thành:

t2 − 4t < 0 ⇔ 0 < t < 4

suy ra, 0 < 3x < 4 ⇔ x < log34

Ví dụ 3. Nếu đặt t =log2x thì bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) trở thành bất phương trình nào?

A. t4 +13t2 + 36 < 0 .    B. t4 + 12t2 + 12 < 0

C. t4 < 24t2 + 23 > 0    D. t4 − 13t2 + 36 < 0

Lời giải:

Đáp án: D

Điều kiện: x > 0.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

⇔ log24x − (−log2x3 + log28)2 + 9(log232 − log2x2) < 4log22x

⇔ log24x − (3log2x − 3)2 + 9(5 − 2log2x) − 4log22x < 0

⇔ log24x − (9log22x − 18log2x + 9) + 45 − 18log2x − 4log22 < 0

⇔ log24x − 13log22x + 36 < 0

Đặt t= log2x khi đó phương trình trên trở thành :

t4 − 13t2 + 36 < 0

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: 0 < x ≠ 1 (*)

Ta có:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Đặt t = log5x, khi đó (*) trở thành: 2t2 − t < 0

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (1; √5) .

Ví dụ 5. Tập nghiệm của bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Điều kiện: x > 0 (*). Đặt u = log2x => x = 2u

Bất phương trình đã cho trở thành

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

- Với u > 1 => log2x > 1 => x > 2

- Với u < −1 => log2x < −

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Kết hợp điều kiện (*), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 2 hoặc

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Dạng 4. Giải bất phương trình lôgarit bằng phương pháp đánh giá, tính đơn điệu của hàm số.

1. Phương pháp giải

a. Phương pháp đánh giá:

Để giải bất phương trình: A( x) < B(x) ta có thể chứng minh với mọi x < x0 ta có A(x) ≥ B(x)

và mọi x ≥ x0 thì A(x)< B(x).

Khi đó, nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ x0

b. Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng D. Giả sử hàm số y= f(x) đơn điệu trên khoảng D.

+ Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên D thì f(x) > f(x0 ) ⇔ x > x0.

+ Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên D thì f(x) > f(x0)  ⇔ < x0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bất phương trình log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 có tập nghiệm là:

A. [0; +∞).    B. (−∞; 0).    C. (−∞; 0].    D. (0; +∞) .

Lời giải:

Đáp án: C

* Xét x > 0 => 2x > 20 = 1 => 2x + 1 > 2

Suy ra, log2 (2x +1) > log22 = 1 (1)

* Khi x > 0 thì 4x > 40 = 1 => 4x + 2 > 2 + 1= 3

Suy ra, log3 (4x + 2) > log33 = 1 ( 2)

* Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: log2 (2x + 1) + log3 ( 4x + 2) > 2

Mà BPT: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 nên x > 0 ( loại) .

* Xét x ≤ 0

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được: log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2 (tm)

Vậy x ≤ 0 hay x ∈ (−∞; 0]

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: log3 (2x + 1) + x ≤ 2

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: B

Điều kiện:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Xét hàm số y = f(x) = log3(2x + 1) + x trên Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) có đạo hàm:

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Suy ra, hàm số đồng biến trên Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Khi đó, log3 (2x + 1) + x ≤ 2 ⇔ f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 3. Giải bất phương trình log2(3x + 7) + log3(4x + 11) ≥ 7

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: C

Tập xác định D = R.

Xét hàm số y = log2(3x + 7) + log3(4x + 11) xác định và liên tục trên R.

Đạo hàm

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Suy ra, hàm số đồng biến trên R.

Do đó, bất phương trình đã cho trở thành: f(x) ≥ f(2) = 7 ⇔ x ≥ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2; +∞)

Ví dụ 4. Giải bất phương trình −log5(3x + 16) − 2x < −6.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Tập xác định D = R.

Đặt f(x) = −log5(3x + 16) − 2x liên tục và xác định trên R.

Đạo hàm

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Do đó, hàm số y= f(x) nghịch biến trên R. Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành; f(x) < f(2) ⇔ x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞)

Dạng 5. Bất phương trình logarit có chứa tham số m

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) vô nghiệm?

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: D

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Để bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình: x2 − mx + 4 ≤ 0 vô nghiệm

⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ Δ = m2 − 16 < 0 ⇔ −4 < m < 4

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 ?

A. m ≥ 6.    B. m > 6    C. m ≤ 6.    D. m < 6

Lời giải:

Đáp án: C

BPT

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Đặt Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) do x ≥ 1 => t ∈ [2; +∞)

BPT

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Với f(t) = t2 + t có f’(t) = 2t + 1 > 0 với t ∈ [2; +∞) nên hàm đồng biến trên t ∈ [2; +∞)

Nên min f(t) = f(2) = 6.

Do đó để để bất phương trình log2(5x − 1). log2(2.5x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ 1 thì :

m ≤ Minf(t) ⇔ m < 6

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2 ; 3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: log5 (x2 + 1) > log5 (x2 +4x + m) − 1

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Hệ trên thỏa mãn ∀x ∈ (2; 3)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2(7x2 + 7) ≥ log2(mx2 + 4x + m), ∀x ∈ R

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: C

Bất phương trình tương đương : 7x2 + 7 ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Nếu m = 7 thì (2) không thỏa ∀x ∈ R

Nếu m =0 thì (3) không thỏa ∀x ∈ R

Do đó, để (1) thỏa ∀x ∈ R

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log5(x2 + 1) ≥ log5(mx2 + 4x + m) có nghiệm đúng mọi x.

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Lời giải:

Đáp án: A

Bất phương trình tương đương : 5(x2 + 1) ≥ mx2 + 4x + m > 0, ∀x ∈ R

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Nếu m = 0 hoặc m= 5 : (*) không thỏa ∀x ∈ R

m ≠ 0 và m ≠ 5: (*)

Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng) Bài tập Bất phương trình logarit trong đề thi Đại học có lời giải (5 dạng)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 chọn lọc, có lời giải hay khác: