Cách giải các dạng bài về cực trị của hàm số cực hay - Toán lớp 12

---

Cách giải các dạng bài về cực trị của hàm số cực hay

Với Cách giải các dạng bài về cực trị của hàm số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về cực trị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Hàm số có cực trị y' = 0 có hai nghiệm phân biệt .

Nếu hàm số y = ax³ + bx² + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x₁,x₂ và

y = g(x).y^' + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = ax + b và giá trị cực trị là của hàm số là y₁ = a.x₁+b; y₂ = a.x₂ + b

Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

    - Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

   - Phân tích hệ thức để áp dụng vi-et cho phương trình bậc hai.

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

(C)có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;

Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số là:

Nhận xét: tam giác ABC cân tại A, có A ∈Oy ;

Tam giác ABC vuông tại

hoặc ΔABC vuông cân tại A ⇔ BC² = AB² + AC²

Tam giác ABC đều

hoặc ΔABC đều ⇔ BC² = AB²

Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng 120°

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ - 3(m + 1)x² + 9x - 2m² + 1 (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x₁, x₂ sao cho |x₁ - xc | = 2

Hướng dẫn

Ta có y' = 0 ⇔ x² - 2(m + 1)x + 3 = 0. ĐK có 2 điểm cực trị Δ' = (m + 1)² - 3 > 0

Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x₁,x₂ sao cho x₁² + x₂² = 6

Hướng dẫn

Ta có y' = x² - mx + m² - 3. ĐK có 2 cực trị Δ = m² - 4(m² - 3) = 12 - 3m² > 0

Khi đó

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x⁴ - 2mx² + 2m⁴ - m có ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

Hướng dẫn

Ta có y' = 4x³ - 4mx = 4x[x² - m].

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; 2m⁴ - m), B(-√m; 2m⁴ - m² - m), C(√m; 2m⁴ - m² - m)

Có A Oy.Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ y_B = 0 = y_C ⇔ 2m⁴ - m² - m = 0 ⇔ m = 1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho hàm số y = 4x³ + mx² - 3x + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x₁,x₂ thỏa x₁ = -2x₂

Lời giải:

Ta có y' = 12x² + 2mx - 3. ĐK có 2 cực trị là: Δ' = m² + 36 > 0

Câu 2:Cho hàm số y = (m + 2)x³ + 3x² + mx - 5, m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Lời giải:

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔ PT y' = 3(m + 2)x² + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 3:Cho hàm số y = x³ + (1 - 2m)x² + (2 - m)x + m + 2 (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu , đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Lời giải:

y' = 3x² + 2(1 - 2m)x + 2 - m = g(x)

YCBT ⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂thỏa mãn x₁ < x₂ < 1.

Câu 4:Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Lời giải:

f'(x) = 3x² + 6x + m

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi:f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình f'(x) = 0 ta có

g(x₁) = 2/3 (m - 3)(x₁ + 1); g(x²) = 2/3 (m - 3)(x₂ + 1)

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của

(g(x₁). g(x₂) < 0 ⇔ (m - 3)² (x₁ + 1)(x₂ + 1) < 0⇔(m - 3)² (x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 ⇔(x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 (m < 3) )

Vậy:(x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 ⇔ m/3 - 1 < 0 ⇔ m < 3

Câu 5:Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 3)x² + 11 - 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểmC(0; -1) thẳng hàng .

Lời giải:

y' = 6x² + 6(m - 3)x

Hàm số có 2 cực trị m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 - 3m)

Phương trình đt AB : (3 - m)² x + y - 11 + 3m = 0

A,B,C thẳng hàng

Hay : -1 - 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4.

Câu 6:Tìm m để hàm số y = x⁴ - 2m² x² + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Lời giải:

Hàm số có 3 cực trị y' = 4x(x² - m² ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt m ≠ 0, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là A(0, 1);B(-m, 1 - m⁴ ), C(m, 1 - m⁴ ). Do y là hàm chẵn nên YCBT ⇔ m = ±1

Câu 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³ - 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

Lời giải:

y' = 3x² - 3m

y' = 0 ⇔ Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M(√m; -2m√m + 2)

Phương trình đt MN : 2mx + y - 2 = 0

( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y')

Ta có :

Dấu bằng xảy ra khi

Câu 8:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y = 2x³ - 3(m + 1)x² + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : y = x + 2.

Lời giải:

Ta có : y = 6x² - 6(m + 1)x + 6m

y' = 0 ⇔

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m ≠ 1

Ta có : A(1; 3m - 1) B(m; -m³ + 3m² )

Hệ số góc đt AB là : k = -(m - 1)²

Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k = -1 ⇔