Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cực hay

Với Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x₀.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Bước 1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x₀ là y'(x₀) = 0, từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

Bước 2. Kiểm lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ - 3mx² +(m² - 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y'=3x² - 6mx + m² - 1; y'' = 6x - 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒

⇔ m = 1.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² - (m² + 2m)x - 2 đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y' = -3x² + 2(m + 3)x - (m² + 2m) ; y'' = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x⁴ - 2(m + 1)x² - 2m - 1 đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta có y' = 4x³ -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 - 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y' = 4x³ - 4x ⇒ y'(1) = 0.

+ Lại có y'' = 12x² - 4 ⇒ y''(1) = 8 > 0.

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hàm số: y = 1/3 x³ - mx² +(m² - m + 1)x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1

Lời giải:

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x² - 2mx + m² - m + 1, y'' = 2x - 2m

Điều kiện cần: y'(1) = 0 ⇔ m² - 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 hoặc m = 2

Điều kiện đủ:

Với m = 1 thì y''(1) = 0 ⇒ hàm số không thể có cực trị.

Với m = 2 thì y''(1) = -2 < 0 ⇒ hàm số có cực đại tại x = 1 .

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 2. Cho hàm số y = 1/3 x³ + (m² - m + 2) x² + (3m² + 1)x + m - 5. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 .

Lời giải:

      ♦ Tập xác định: D = R

      ♦ Đạo hàm: y' = x² + 2(m² - m + 2)x + 3m² + 1

Điều kiện cần:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 ⇒ y'(-2) = 0

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y' = x² + 4x + 4, y' = 0 ⇔ x = -2

Lập BBT ta suy ra m = 1 không thỏa.

Với m = 3, ta có: y' = x² + 16x + 28, y' = 0 ⇔

Lập BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

      ♦ Vậy giá trị m cần tìm là m = 3.

Bài 3. Cho hàm số y = 1/3 x³ - (m+1) x² + (m² + 2m)x + 1 (m là tham số). Tìm tất cả tham số thực m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = x² –2(m + 1)x + m² + 2m; y'' = 2x – 2m - 2.

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Bài 4. Tìm tất cả tham số thực m để hàm số y = (m-1)x⁴ - (m² - 2) x² + 2016 đạt cực tiểu tại

x = -1.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = 4(m - 1)x³ – 2(m² - 2)x; y'' = 12(m - 1)x² – 2m² + 4.

Để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 ⇔.

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x³/3 +(2m - 1)x² + (m - 9)x + 1 đạt cực tiểu tại

x = 2 .

Lời giải:

Ta có : y' = x² + 2(2m - 1)x + m - 9.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là

y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m - 1) + m - 9 = 0 ⇒ m = 1.

Kiểm tra lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m - 1).

Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra y''(2) = 6 > 0. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ m = 1.

Bài 6. Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = mx³ + 2(m - 1)x² - (m + 2)x + m đạt cực tiểu tại x = 1 .

Lời giải:

Ta có: y' = 3mx² + 4(m - 1)x - m - 2,y'' = 6mx + 4(m - 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m - 6 = 0 ⇔ m = 1

Khi đó y''(1) = 10m - 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài 7. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Lời giải:

Ta có:

Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ -m nên để hàm đạt cực tiểu tại x = 1 thì trước hết y'(1) = 1 - 1/((1 + m)² ) = 0 ⇔ m = 0; m = -2.

      * m = 0 ⇒ y''(1) = 1 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu ⇒m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

      * m = -2 ⇒ y'(1) = -1 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại ⇒ m = -2 không thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) ≠ 0 nên ta có thể trình bày:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔

Bài 8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Lời giải:

Ta có

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ⇒ y'(-1) = 0 ⇔

⇔ m² - m - 2 = 0 ⇔ m = -1, m = 2.

      • m = -1 ⇒ y''(-1) = -1 < 0 ⇒ x = -1 là điểm cực đại

      • m = 2 ⇒ y''(-1) = 2 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu.

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.