Cách giải bài tập về tiệm cận của hàm số cực hay - Toán lớp 12

---

Cách giải bài tập về tiệm cận của hàm số cực hay

Với Cách giải bài tập về tiệm cận của hàm số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về tiệm cận của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang cắt đường thẳng d:y = x tại điểm A(1; 1).

Hướng dẫn

Nghiệm của tử thức 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = 1/2 không là nghiệm của mẫu hay m.1/2 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Đường tiệm cận ngang y = 2/m

Phương trình hoành độ giao điểm của đường tiệm cận ngang y = 2/m và đường thẳng d:y = x là:

2/m = x

Mà hai đường này cắt nhau tại điểm A(1; 1) nên ta có 2/m = 1 ⇔ m = 2 (loại)

Vậy không tồn tại giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm trên đồ thị hàm số những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị

Hướng dẫn

Gọi M(a;(2a + 1)/(a - 1)) với a ≠ 1 là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng d₁: x = 1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 2

Vì M cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số nên

Với a = -2 thì tọa độ điểm M là M =(-2; 1)

Với a = 4 thì tọa độ điểm M là M =(4; 3)

Vậy các điểm cần tìm là M(-2; 1) và M(4; 3)

Ví dụ 3: Cho hàm số ) có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

Hướng dẫn

Để x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay 2m.1 + m ≠ 0 ⇔ 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Đường tiệm cận đứng x = 1; đường tiệm cận ngang y = 2m

Vì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 nên

(thỏa mãn)

Giá trị của tham số m cần tìm là m = 4; m = -4.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 3).

Lời giải:

Nghiệm của mẫu thức x = -m

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = -m thì x = -m không là nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0. Khi đó 2.(-m) = 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/2

Vì tiệm cận đứng đi qua điểm M(2; 3) nên 2 = -m ⇔ m = -2

Câu 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Biết tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm A(-1; 2) đồng thời điểm I(2; 1) thuộc (C). Tìm giá trị của biểu thức P = m + n.

Lời giải:

Để x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay m + n ≠ 0.

Đường tiệm cận ngang là y = m

Vì tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm A(-1; 2) nên m = 2

Vì I∈(C) nên 1 = (2m + n)/(2 - 1) ⇒ 2m + n = 1 ⇔ n = 1 - 2m = -3

Khi đó P = m + n = 2 + (-3) = -1

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của d.

Lời giải:

Gọi thuộc đồ thị (C) với x₀ ≠ -2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng Δ₁:x = 2; tiệm cận ngang Δ₂:y = 2

Ta có d(M; Δ₁ )= |x₀ - 2| và d(M; Δ₂ )= |y₀ - 2| = 1/|x₀ - 2|

Áp dung AM - GM ta được d(M; Δ₁ ) + d(M; Δ₂ ) =

Vậy giá trị nhỏ nhất của d là 2.

Câu 4: Cho hàm số có đồ thị (H). Tìm tích số các khoảng cách từ một điểm M tùy ý thuộc (H) đến hai đường tiệm cận của (H).

Lời giải:

Gọi ∈(C) với a ≠ -1

Đường tiệm cận đứng d₁:x = -1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 2

Khi đó d(M;d₁ ).d(M;d₂ )=

Câu 5:Cho hàm số có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm M(x; y) sao cho tổng x.y < 0.

Lời giải:

Để x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = -2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay (1 - m² )(-2) + 1 ≠ 0

Đường tiệm cận đứng x = -2; đường tiệm cận ngang y = 1 - m² nên M(-2; 1 - m²)

Vì x.y < 0 ⇒ (-2)(1 - m² )< 0 ⇔ 1 - m² > 0 ⇔ -1 < m < 1

Kết hợp điều kiện: Giá trị của tham số m thỏa mãn là

Câu 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016.

Lời giải:

Để x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay 4m.2 + 3m ≠ 0 ⇔ 11m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Đường tiệm cận đứng x = 2; đường tiệm cận ngang y = 4m

Vì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016 nên

(thỏa mãn)

Giá trị của tham số m cần tìm là m = 252; m = -252.

Câu 7: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Tim độ dài đoạn thẳng PQ.

Lời giải:

Gọi thuộc đồ thị (C) với x₀ ≠ 2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng Δ₁:x = 2; tiệm cận ngang Δ₂:y = 1

Ta có d(P; Δ₁ ) = |x₀ - 2| và d(P; Δ₂ ) = |y₀ - 1| = 4/|x₀ - 2|

Áp dung AM - GM ta được d = d(P; Δ₁ ) + d(P; Δ₂ ) = |x₀ - 2| + 4/|x₀ - 2| ≥4

⇒ giá trị nhỏ nhất của d là 2. Dấu “=” xảy ra khi |x₀ - 2| = 4/|x₀ - 2|

Với x₀ = 0 ⇒ y₀ = -1 ⇒ P(0; -1)

Với x₀ = 4 ⇒ y₀ = 3 ⇒ Q(4; 3)

Khi đó độ dài đoạn thẳng PQ là

Câu 8: Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải:

Gọi ∈(C) với a ≠ 1 là tọa độ điểm cần tìm

Đường tiệm cận đứng d₁:x = 1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 1

Vì M cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số nên

Với a = √2 + 1 thì tọa độ điểm M cần tìm là M = (√2 + 1; √2 + 1)

Với a = -√2 + 1 thì tọa độ điểm M cần tìm là M = (-√2 + 1; -√2 + 1)

Vậy có hai điểm cần tìm M = (√2 + 1; √2 + 1) và M = (-√2 + 1; -√2 + 1)