Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của p=a^2 b^2 1/a^2 1/b^2

Câu hỏi:

Cho a, b >0 thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm GTNN của

P = a^{2} + b^{2} + \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}

Trả lời:

$P = (a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}}) + (b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}}) + \frac{15}{16} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: $a^{2} + \frac{1}{16 a^{2}} \geq \frac{1}{2}; b^{2} + \frac{1}{16 b^{2}} \geq \frac{1}{2}; \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b} = \frac{4}{2 a b}$

Mặt khác: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2}}$

Suy ra: $2 (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}) \geq 4 (\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}) \geq 4. \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2 a b} = \frac{16}{{(a + b)}^{2}} = 16$

Suy ra: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 8$

Vậy $P \geq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{15}{16} .8 = \frac{17}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi:

\{\begin{cases} a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\overset{⏜}{A P} = \overset{⏜}{B N}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức $S = \frac{1}{R (3)} + \frac{1}{R (4)} + ... + \frac{1}{R (2022)} + \frac{1}{R (2023)}$