Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng
Câu hỏi:
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng A = \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}} \ge 3\).
Trả lời:
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên: \(\frac{a}{{b + c - a}};\frac{b}{{a + c - b}};\frac{c}{{a + b - c}} > 0\)
A = \(\frac{a}{{b + c - a}} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{c}{{a + b - c}}\)
⇔ \(A + \frac{3}{2} = \frac{a}{{b + c - a}} + \frac{1}{2} + \frac{b}{{a + c - b}} + \frac{1}{2} + \frac{c}{{a + b - c}} + \frac{1}{2}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{{2\left( {b + c - a} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + c - b} \right)}} + \frac{{a + b + c}}{{2\left( {a + b - c} \right)}}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} = \frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{1}{{b + c - a}} + \frac{1}{{a + c - b}} + \frac{1}{{a + b - c}}} \right)\)
⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{{a + b + c}}{2}.\frac{9}{{b + c - a + a + c - b + a + b - c}}\)
⇔\(A + \frac{3}{2} \ge \frac{9}{2}\)
⇔ A ≥ 3 (đpcm).
