Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng: a / a2 + bc + b/ b2 + ca + c / c2 + ab nhỏ hơn bằng 3/2

Câu hỏi:

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc.

Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{3}{2}$

Trả lời:

Từ điều kiện đề bài ta có: $\frac{a b + b c + c a}{a b c} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

$a^{2} + b c \geq 2 \sqrt{a^{2} . b c} = 2 a \sqrt{b c}$

⇒ $\frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{a}{2 a \sqrt{b c}} = \frac{1}{2 \sqrt{b c}}$

$\frac{1}{\sqrt{b}} . \frac{1}{\sqrt{c}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ⇒ $\frac{a}{a^{2} + b c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Tương tự ta có:

$\frac{b}{b^{2} + a c} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

Suy ra: $\frac{a}{a^{2} + b c} + \frac{b}{b^{2} + c a} + \frac{c}{c^{2} + a b} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = \frac{3}{2}$ .