Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a5 + b5 + c5 chia hết cho 5.

Câu hỏi:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a⁵ + b⁵ + c⁵ chia hết cho 5.

Trả lời:

a⁵ – a = a(a⁴ – 1) = a(a² – 1)(a² + 1)

= a(a² – 1)(a² – 4 + 5)

= a(a² – 1)(a² – 4) + 5a(a² – 1)

= a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) + 5a(a² – 1) chia hết cho 5.

Vì a – 2, a – 1, a, a + 1, a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 5

⇒ a(a + 1)(a – 1)(a + 2)(a – 2) chia hết cho 5

Mặt khác : 5a(a² – 1) chia hết cho 5

Tương tự có b⁵ – b chia hết cho 5, c⁵ – c chia hết cho 5.

Mà a + b + c = 0

Do đó a⁵ + b⁵ + c⁵ = (a⁵ – a) + (b⁵ – b) + (c⁵ – c) chia hết cho 5

Câu 1:

Cho A = (m; m + 3) và B (2; 6m + 1). Tìm m để A ∩ B = ∅.

Câu 2:

Cho hai tập hợp khác rỗng A = [m – 1; 5) và B = [-3; 2m + 1]. Tìm m để A ⊂ B.

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK. Chứng minh rằng $\hat{A I B} = 90 °$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh sinA + cosA + sinC + cosC > 2.

Câu 5:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 1.

Tìm GTLN của M = ab + bc + 2ac.

Câu 6:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh a² + b² + c² + ab + bc + ca ≥ 6.

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Câu 8:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1, x³ + y³ = 2.

Tính giá trị của biểu thức M = xy, N = x⁵ + y⁵.

Các dạng bài tập Toán lớp 12