Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm GTLN của M = ab + bc + 2ac.

Câu hỏi:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 1.

Tìm GTLN của M = ab + bc + 2ac.

Trả lời:

Ta có: M = ab + bc + 2ac = (a + c)b + 2c

$\leq \sqrt{2 (a^{2} + c^{2}) b} + a^{2} + c^{2} = \sqrt{2 (1 - b^{2}) b} + 1 - b^{2} = f (b^{2})$

Với hàm số f(t) = $\sqrt{2 (1 - t) t} + 1 - t, t \in [0; 1]$

Ta có: $f' (t) = \frac{1 - 2 t}{\sqrt{2 (1 - t) t}} - 1 = 0$

⇔ $t = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} = t_{0}$

Từ đó f(t) đồng biến trên ( 0 , t0) và nghịch biến trên (t₀, 1)

Suy ra: $\max f (t) = f (\frac{3 - \sqrt{3}}{6}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ tức là $\max P = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ chẳng hạn $b = \pm \sqrt{t_{0}}$

Và $a = c = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - {t_{0}}^{2}}$ .

Câu 1:

Cho A = (m; m + 3) và B (2; 6m + 1). Tìm m để A ∩ B = ∅.

Câu 2:

Cho hai tập hợp khác rỗng A = [m – 1; 5) và B = [-3; 2m + 1]. Tìm m để A ⊂ B.

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, K là trung điểm của AD. Gọi I là hình chiếu của điểm D trên CK. Chứng minh rằng $\hat{A I B} = 90 °$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh sinA + cosA + sinC + cosC > 2.

Câu 5:

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh a² + b² + c² + ab + bc + ca ≥ 6.

Câu 6:

Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTLN, GTNN của P = x² + 2xy – y².

Câu 7:

Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 1, x³ + y³ = 2.

Tính giá trị của biểu thức M = xy, N = x⁵ + y⁵.

Câu 8:

cho các tập hợp A = (2; +∞) và B =[m² - 7; +∞) với m > 0. Tìm m để A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Các dạng bài tập Toán lớp 12