Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3. Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.
Câu hỏi:
Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x2 + 2xy + y2 = 3.
Tìm GTLN, GTNN của P = x2 + 2xy – y2.
Trả lời:
Ta có: P3=x2+2xy−y24x2+2xy+y2 (*)
Xét y = 0 thì x2 = 34⇒x=±√32
Suy ra: [P=(√32)2+2.√32.0−02=34P=(−√32)2+2.(−√32.)0−02=34
Xét y khác 0, chia cả (*) cho y2 ta được: P3=(xy)2+2xy−14(xy)2+2xy+1
Đặt xy=a⇒P3=a2+2a−14a2+2a+1
* Xét P3−(−2)=a2+2a−14a2+2a+1+2=(3a+1)24a2+2a+1
Vì (3a + 1)2 ≥ 0 với mọi a nên (3a+1)24a2+2a+1≥0
Suy ra: P3−(−2)≥0⇒P≥−6
Vậy GTNN của P là -6 khi 3a + 1 = 0 hay a = −13⇔xy=−13⇔−3x=y
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 7x2 = 3
⇔ [x=√217x=−√217⇒[y=−3√217y=3√217
Vậy GTNN của P là -6 khi (x; y) = (√217;−3√217);(−√217;3√217)
* Xét P3−13=a2+2a−14a2+2a+1−13=−(a−2)24a2+2a+1
Vì –(a – 2)2 ≤ 0 với mọi a nên: −(a−2)24a2+2a+1≤0,∀a
Suy ra: P3−13≤0⇒P≤1
Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.
Khi đó x = 2y
Thay vào 4x2 + 2xy + y2 = 3, ta được: 21y2 = 3
⇔ [y=1√7y=−1√7⇒[x=2√7x=−2√7
Vậy GTLN của P là 1 khi (x; y) = (2√7;1√7);(−2√7;−1√7).
