Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AC.
Câu hỏi:
Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.
a) Chứng minh OI song song với BC.
b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Vẽ CH vuông góc với AB, H ∈ AB và vẽ BK vuông góc với CD, K ∈ CD. Chứng minh CK² = HA.HB.
Trả lời:
a) Vì DC = DA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại D) và OA = OC = R
Nên OD là trung trực AC nên OD ⊥ AC
Mà I là trung điểm AC nên I thuộc OD
Lại có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AC ⊥ CB
Suy ra: OD // BC hay OI // BC
b) Xét tam giác OCD và OAD có:
OC = OA = R
OD chung
DA = DC
⇒ ∆OCD = ∆OAD (c.c.c)
⇒
⇒ DA ⊥ AB và A trên (O) nên DA là tiếp tuyến của (O).
c)
OC // BK (cùng vuông góc với CD)
Nên
Suy ra:
Xét tam giác CHB và CKB có:
Cạnh BC chung
Vậy ∆CHB = ∆CKB (g.c.g)
Suy ra: CK = CH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông có: CH2 = HA.HB
Mà CH = CK nên CK2 = HA.HB.
