Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a.

Câu hỏi:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a. Mặt bên tạo với đáy góc $60^{0}$ . Gọi K là hình chiếu vuông góc của O trên SD. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện DKAC.

A. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{15}$ .

B. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{5}$ .

C. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{15}$ .

D. $V = a^{3} \sqrt{3}$ .

Trả lời:

Media VietJack

Gọi M là trung điểm CD, suy ra $O M ⊥ C D$ nên

$60^{0} = \hat{(S C D), (A B C D)} = \hat{S M, O M} = \hat{S M O}$

Tam giác vuông SOM, có

S O = O M . \tan \hat{S M O} = a \sqrt{3}

Kẻ $K H ⊥ O D \Rightarrow K H ∥ S O$ nên $K H ⊥ (A B C D)$ .

Tam giác vuông SOD, ta có $\frac{K H}{S O} = \frac{D K}{D S} = \frac{D O^{2}}{D S^{2}} = \frac{O D^{2}}{S O^{2} + O D^{2}} = \frac{2}{5} \overset{}{\to} K H = \frac{2}{5} S O = \frac{2 a \sqrt{3}}{5} .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A D C} = \frac{1}{2} A D . D C = 2 a^{2}$ .

Vậy $V_{D K A C} = \frac{1}{3} S_{Δ A D C} . K H = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{15} .$ Chọn C.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC