Cho tam giác ABC. Chứng minh cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Câu hỏi:

Trả lời:

Ta có:

cotA = -cot(π – A) = -cot(B + C)

$= - \frac{1}{\tan (B + C)} = - \frac{1 - \tan B . \tan C}{\tan B + \tan C} = \frac{\tan B . \tan C - 1}{\tan B + \tan C} = \frac{1 - \frac{1}{\tan B . \tan C}}{\frac{\tan B + \tan C}{\tan B . \tan C}} = \frac{1 - \frac{1}{\tan B} . \frac{1}{\tan C}}{\frac{1}{\tan C} + \frac{1}{\tan B}} = \frac{1 - \cot B . \cot C}{\cot C + \cot B}$

Suy ra: cotA(cotC + cotB) = 1 – cotB.cotC

Xét cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA

= cotA(cotB + cotC) + cotB.cotC

= 1 – cotB.cotC + cotB.cotC

= 1.

Vậy cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 3AB = 2AC. Tính $\sin \hat{A C B}, \tan \hat{A C B}$

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, $\hat{B} = 60 °$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho C = 5 + 5² + … + 5²⁰. Chứng minh rằng C chia hết cho 5, 6, 13.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho x + y = 12 và xy = 32. Tính x⁴ + y⁴.

Xem lời giải »

Câu 5:

Tìm 6 chữ số khác nhau a, b, c, d, e, g sao cho $A = \bar{a b c} - \bar{\deg}$ có giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH ; Gọi M; N lần lượt là hình chiếu của H trên AB; AC. Chứng minh: MN = AH.sin $\hat{A}$