Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x
Câu hỏi:
Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi x.
a) 9x2 – 6x + 2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Trả lời:
a) 9x2 – 6x + 2 = (3x – 1)2 + 1
Vì (3x – 1)2 ≥ 0 với mọi x nên (3x – 1)2 + 1 ≥ 1 > 0 với mọi x
Vậy 9x2 – 6x + 2 > 0 với mọi x.
b) x2 + x + 1 = \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\)
Vì \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\forall x\)
Vậy x2 + x + 1 > 0 với mọi x.
c) 2x2 + 2x + 1 = \(2\left( {{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) = 2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\)
Vì \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên \(2{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} > 0,\forall x\)
Vậy 2x2 + 2x + 1 > 0 với mọi x.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Xét xem dãy un = 3n – 1 có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
Xem lời giải »
Câu 2:
Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu?
Xem lời giải »
Câu 3:
Tính giá trị của biểu thức: P = (x – 10)2 – x(x + 80) tại x = 0,87.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tính giá trị biểu thức A = 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2.
Xem lời giải »
Câu 5:
Tìm số nguyên tố p để p + 2, p + 6 và p + 8 đều là số nguyên tố.
Xem lời giải »
Câu 7:
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và \(\widehat {BAC}\)= 60°. Gọi M, N, P theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác INP đều.
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho 2 số tự nhiên y > x thỏa mãn (2y − 1)2 = (2y − x)(6y + x).
Chứng minh 2y – x là số chính phương.
Xem lời giải »
