Dạng bài tập về định lí Ơ-le và khối đa diện đều cực hay - Toán lớp 12

Dạng bài tập về định lí Ơ-le và khối đa diện đều cực hay

Với Dạng bài tập về định lí Ơ-le và khối đa diện đều cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về định lí Ơ-le và khối đa diện đều từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Phương pháp giải

+ Đặc số Ơ-le của khối đa diện: Cho khối đa diện ( H); gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh; M là số mặt của (H). Khi đó, đặc số Ơ- le là: χ(H)= Đ - C+ M

+ Định lí Ơ-le: Mọi khối đa diện lồi đều có đặc số bằng 2 ( Tức là: Đ – C + M= 2)

+ Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có: p. Đ= 2C= n.M

+ Khối đa diện đều loại {n; p} là khối đa diện lồi có mặt là các n- giác đều và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh.

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều là các loại: {3; 3}; { 4; 3}; {3; 4}; {5; 3} và {3; 5}.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một khối đa diện lồi 11 đỉnh, 8 mặt. Vậy khối đa diện này có mấy cạnh?

A. 12.

B. 15.

C. 18.

D. 17

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Ơle ta có: Đ – C+ M= 2

Thay số: 11 – C+ 8 = 2 ⇔ C= 17.

Chọn D

Ví dụ 2. Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh?

A. 16.

B. 18.

C. 20.

D. 30

Hướng dẫn giải

Vì mỗi mặt là ngũ giác đều và có M mặt ( M= 12).

Áp dụng công thức: 2C= n. M trong đó n= 5 ( vì mỗi mặt là ngũ giác đều)

=> 2. C = 5. 12 ⇔ c = 5.12/2 = 30

Chọn D.

Ví dụ 3.Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4; 3} là:

A. 4π

B. 8π

C. 12π

D. 10π

Hướng dẫn giải

Khối đa diện đều loại {4; 3} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc của một mặt là: 4.π/2=2π

Do đó, tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện là: 6.2π=12π

Chọn C.

Ví dụ 4.Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hướng dẫn giải

Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều.

Gọi S₀ là diện tích tam giác đều cạnh a. Diện tích tam giác đều đó là:

Vậy diện tích S cần tính là

Chọn C.

Ví dụ 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.

B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.

C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.

D. Tốn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.

Hướng dẫn giải

A. Sai. Ví dụ hình lập phương có 8 đỉnh và 6 mặt.

B. Đúng. Hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt.

C. Sai. Theo công thức Ơle. Đ- C+ M= 2 => Đ+ M = 2+ C

(với Đ - là số đỉnh; C- là số cạnh; M- là số mặt).

Nếu C= Đ => M= 2 nghĩa là hình đa diện có 2 mặt, vô lý.

D. Sai. Tương tự C, nếu số C= M => Đ= 2 , vô lý.

Chọn B.