Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu cực hay - Toán lớp 12

---

Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu cực hay

Với Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Giải bất phương trình logarit bằng cách mũ hóa và tính đơn điệu từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

logaf(x) ≤ g(x)
0 < a < 1	logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x) .
a > 1	logaf(x) ≤ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)

0 < a < 1	logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≤ ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ ag(x)
a > 1	logaf(x) ≥ g(x) ⇔ alogaf(x) ≥ ag(x) ⇔ f(x) ≥ ag(x)

Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên thì bất phương trình f(u) > f(v) ⇔ u > v (hoặc u < v), ∀u, v ∈ D..

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải bất phương trình sau log₂(4^x+3) > x+2.

Hướng dẫn:

log₂(4^x+3) > x+2 ⇔ 2^log₂(4x+3) > 2^x+2 ⇔ 4^x-4.2^x+3 > 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0)∪(log₂3;+∞).

Bài 2: Giải bất phương trình sau log₂⁡(2^x+1)+log₃⁡(4^x+1) ≤ 2

Hướng dẫn:

Đặt f(x)= log₂⁡(2^x+1)+log₃⁡(4^x+1) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R .

Do đó f(x) ≤ f(0)=2 ⇔ x ≤ 0.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : (-∞;0]

Bài 3: Giải bất phương trình log₃ (2x+1)+x ≤ 2

Hướng dẫn:

Điều kiện x > -1/2.

Đặt f(x)=log₃ (2x+1)+x

Suy ra, hàm số đồng biến trên (-1/2;+∞)

Mặt khác f(x) ≤ f(1) ⇔ x ≤ 1

So điều kiện, suy ra -1/2 < x ≤ 1 ⇒ S=(-1/2;1]

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải bất phương trình log₃(5^x+2)+log₄(3^x+7) ≥ 5 .

Lời giải:

Đặt f(x)=log₃(5^x+2)+log₄(3^x+7) xác định và liên tục trên R.

nên hàm số đồng biến trên R.

Do đó f(x) ≥ f(2)=5 ⇔ x ≥ 2 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2;+ ∞).

Bài 2: Giải bất phương trình log₃(4.3^x-1) > 2x-1

Lời giải:

log₃(4.3^x-1) > 2x-1 ⇔ 4.3^x-1 > 3^2x-1 ⇔ 3²x-4.3^x < 0 ⇔ 0 < 3^x < 4 ⇔ x < log₃4

Bài 3: Giải bất phương trình log_x[log₉(3^x-9)] < 1

Lời giải:

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

log_x[log₉(3^x-9)] < 1 ⇔ log₉(3^x-9) < x ⇔ 3^x-9 < 9^x ⇔ 9^x-3^x+9 > 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm: (log₂10;+ ∞)

Bài 4: Giải của bất phương trình log_x(log₄(2^x-4)) ≤ 1

Lời giải:

Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

log₄(2^x-4) ≤ x ⇔ 2^x-4 ≤ 4^x ⇔ 4^x-2^x+4 ≥ 0 ⇔ x ∈ R

So với điều kiện ta thu được tập nghiệm (2;+ ∞)

Bài 5: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình log₂x (x²-5x+6) < 1

Lời giải:

Trường hợp 1: 0 < x < 1/2 : Bất phương trình không có nghiệm nguyên.

Trường hợp 2: x > 1/2.

Bất phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên.

Bài 6: Giải bất phương trình

Lời giải:

Phương trình tương đương với:

Bài 7: Giải bất phương trình log₂x+log₃(x+1) < 2.

Lời giải:

Điều kiện x > 0

Ta xét hàm số: y=f(x)=log₂x+log₃(x+1) có đạo hàm

với mọi x ∈ D nên hàm số là hàm đồng biến.

Ta có f(2)=2 nên log₂x+log₃(x+1) < 2 ⇔ x < 2

Kết hợp điều kiện ta có x ∈ (0;2).