Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay - Toán lớp 12

---

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay

Với Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử phương trình có dạng f(x) = g(x)    (*)

    • Bước 1: Nhẩm được một nghiệm x₀ của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x)(C₁) và y = g(x)(C₂). Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó (C₁) và (C₂) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x₀. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Hoặc đưa phương trình về dạng f(x) = 0

    • Bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x₁; x₂ của phương trình (thường chọn nghiệm lân cận 0).

    • Bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng minh f'(x) = 0 có nghiệm duy nhất và f'(x) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

    • Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v) .

    • Bước 2: Chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log₃ (x+2) + log₇ (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Phương trình có một nghiệm x = 1

f(x) = log₃(x+2) + log₇(3x+4) ⇒ f'(x) > 0, nên f(x) đồng biến trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Bài 2: Giải phương trình log₂ (x²-x-6)+x=log₂ (x+2)+4

Hướng dẫn:

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log₂(x-3), đồng biến trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch biến trên tập xác định. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4.

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇔ log₂ (x²-x+1)-log₂ (2x²-4x+3) = x²-3x+2 ⇔ log₂ (x²-x+1) + (x²-x+1) = log₂ (2x²-4x+3)+(2x²-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log₂ t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x²-x+1) = f(2x²-4x+3) ⇒ x²-x+1 = 2x²-4x+3 ⇔ x²-3x+2=0

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là {1;2}

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình log²₃ x + (x-12)log₃ x + 11 - x = 0

Lời giải:

Điều kiện: x > 0

Đặt log₃ x = t . Khi đó phương trình đã cho trở thành

Với t=1 ⇒ x=3.

Với t=11-x ⇒ log₃ x = 11-x. Phương trình này có một nghiệm là x = 9; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {3;9}

Bài 2: Giải phương trình log₃ (2x+1) = x

Lời giải:

Đặt log₃ (2x+1) = x ⇔ 3^x = 2x+1 ⇔ 3^x - 2x + 1 = 0(*).

Phương trình (*) có hai nghiệm là x=0; x=1

Xét hàm số f(x) = 3^x - 2x + 1.

Ta có f'(x) = 3^x ln3 - 2; f''(x) = 3^x ln² 3 > 0 ⇒ f'(x) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f'(x)=0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác ta có f'(0).f'(1) > 0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình f'(x)=0 có duy nhất một nghiệm và f'(x) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f(x)=0 có nhiều nhất hai nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là {0;1}

Bài 3: Giải phương trình log₂ (2^x+1) + log₃ (4^x+2) = 2.

Lời giải:

+) x = 0 là một nghiệm của phương trình.

+) Với x > 0,ta có: 2^x+1 > 2⁰+1=2 ⇒ log₂ (2^x+1) > log₂ 2 = 1

4^x+2 > 4⁰+2=3 ⇒ log₃ (4^x+1) > log₃ 3=1

⇒ VT = log₂ (2^x+1)+log₃ (4^x+1) > 2 = VP

+) Với x ≤ 0,ta có: 2^x+1 < 2⁰+1=2 ⇒ log₂ (2^x+1) < log₂ 2 = 1

4^x+2 < 4⁰+2 = 3 ⇒ log₃ (4^x+1) < log₃ 3 = 1

⇒ VT = log₂ (2^x+1)+log₃ (4^x+1) < 2 = VP

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0.

Bài 4: Giải phương trình: log₃ (x²+x+1) - log₃ x = 2x-x²

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Phương trình:

Xét hàm số: f(x) = 2x-x²; f'(x) = 2-2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 .

BBT

Căn cứ BBT f(x) ≤ 1. Hay VP ≤ 1.

Vậy phương trình đã cho tương đương với

Vậy nghiệm của phương trình là: x=1.

Bài 5: Giải phương trình log_x (x+1) = log1,5

Lời giải:

+) Với x ∈ (0;1): x+1 > 1 ⇒ VT = log_x (x+1) < log_x 1 = 0

VP = log1,5 > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (0;1).

+) Với x ∈ (1;+∞): x+1 > x ⇒ VT = log_x (x+1) > log_x x = 1

VP = log1,5 < 1. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ (1;+∞).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6: Giải phương trình

Lời giải:

Ta có:

Vậy phương trình tương đương với

Bài 7: Giải phương trình ln(sin² x) - 1 + sin³ x = 0.

Lời giải:

Điều kiện: sinx ≠ 0.

ln(sin² x) - 1 + sin³ x=0 ⇔ ln(sin² x)-1 = 1-sin³ x

Ta có: VT = ln(sin² x)-1 ≤ ln1-1=0.

VP = 1-sin³ x ≥ 0

Vậy phương trình tương đương với

Bài 8: Giải phương trình log₂ (x-2) = log₃ (x-1).

Lời giải:

Điều kiện của phương trình là

Đặt log₂ (x-2) = log₃ (x-1) = t

Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của(*).

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {4}.