Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay - Toán lớp 12

---

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Với Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x₀ ⇔ f(x) = f(x₀) = k do đó x = x₀ là nghiệm.

        + Với x > x₀ ⇔ f(x) > f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x₀ ⇔ f(x) < f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x₀ sao cho f(x₀) = g(x₀ .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3^{log₂ x} = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2.3^log₂x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇒ x² - 3x + 2 = u² ⇒ 3x - x² - 1 = 1 - u².

Khi đó phương trình (*) có dạng

Xét hàm số:

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log₃ (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2^x2-x + 9^3-2x + x² + 6 = 4^2x-3 + 3^{x - x2} + 5x (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2^x2-x + 3^6-4x + x² + 6 = 2^4x-6 + 3^x-x2 + 5x.

        ⇔ 2^x2-x + x² - x - 3^x-x2 = 2^4x-6 + 4x - 6 - 3^6-4x.

ta được 2^u + u - 3^-u = 2^v + v - 3^-v.

Xét hàm số:

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9^x = 5^x+4^x+2(√20)^x

Lời giải:

nên vế trái của (1) là hàm số nghịch biến trên R.

Mặt khác: f(2) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2}.

Bài 2: Giải phương trình 3.x^{log₃ x}+(log₃ x-1)² = x²

Lời giải:

Điều kiện: x > 0.

Đặt t = log₃ x ⇔ x = 3^t.

Phương trình (*) 3.(3^t )^t+(t-1)² = 3^2t ⇔ 3^t2+1+t²+1 = 3^2t+2t. (1)

Xét hàm số: f(t) = 3^t+t ⇒ f'(t) = 3^t ln3+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Phương trình (1) ⇔ f(t²+1) = f(2t) ⇔ t²+1 = 2t ⇔ t = 1.

Với t=1 ⇒ x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3}.

Bài 3: Giải phương trình 2^x+3^x = 5^x

Lời giải:

Do 5^x > 0,∀x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình (*) cho 5^x ta được:

Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 4: Giải phương trình 3^x+x-4=0

Lời giải:

Xét hàm số: f(t) = 3^t+t-4 ⇒ f'(t) = 3^t ln(3)+1 > 0, ∀t ∈ R.

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R.

Lại có f(1) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 5: Giải phương trình 3^x.2x = 3^x+2x+1

Lời giải:

Nhận xét: Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ±1.

Với x = 1/2 không là nghiệm của phương trình nên

Ta có hàm số y = 3^x là hàm số đồng biến trên R.

là hàm số nghịch biến trên (-∞;1/2) và (1/2;+∞).

Nên hàm số có hai nghiệm x = ±1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {±1}.

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)^x + (√3+√2)^x = (√10)^x

Lời giải:

Ta có: f(2) = 1

Hàm số f(x) nghịch biến trên R

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

Bài 7: Giải phương trình 12+6^x = 4.3^x+3.2^x

Lời giải:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2}.

Bài 8: Giải phương trình 15^x-3.5^x+3^x = 3

Lời giải:

Ta có: (*) ⇔ 3^x.5^x-3.5^x+3^x-3 = 0 ⇔ 5^x (3^x-3)+3^x-3 = 0

⇔ (3^x-3)(5^x+1) = 0 ⇔ 3^x-3 = 0 ⇔ x = 1 (5^x+1 > 0 ∀x ∈ R)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1}.

Bài 9: Giải phương trình 4^x2-3x+2 + 4^x2+6x+5 = 4^2x2+3x+7+1

Lời giải:

Nhận xét: x²-3x+2 + x²+6x+5 = 2x²+3x+7

Ta có: (*) ⇔ 4^x2-3x+2 - 4^2x2+3x+7 = 1 - 4^x2+6x+5

⇔ (4^x2-3x+2 - 1)(4^x2+6x+5 - 1) = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {-5; ±1; 2}.