Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải

---

Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải

Với Các dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) tại điểm M(x₀,y₀) thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số (C) : y = f(x) và điểm M(x₀,y₀) ∈ (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.

Bước 1: Tính đạo hàm y'. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là y'(x₀).

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = y'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý:

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thì khi đó ta tìm y₀ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y₀ = f(x₀) Nếu đề cho y₀ ta thay vào hàm số để giải ra x₀

- Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C) : y = f(x) và đường thẳng d : y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Bước 1: Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

Bước 2: Giả sử M(x₀,y₀) là tiếp điểm. Khi đó x₀ thỏa mãn: y'(x₀) = k (*) .

Bước 3: Giải (*) tìm x₀. Suy ra y₀ = f(x₀)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k(x - x₀) + y₀

Lưu ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

- Tiếp tuyến d // Δ : y = ax + b => hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

- Tiếp tuyến d ⊥ Δ : y = ax + b,(a ≠ 0) => hệ số góc của tiếp tuyến là

- Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan α

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A, y_A)

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A, y_A) hệ số góc k có dạng

d : y = k(x - x_A) + y_A (∗)

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (∗), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x₀, f(x₀)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x₀) = f'(x₀) theo x₀

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y'(x₀)(x - x₀) + y₀(∗∗). Do điểm A(x_A, y_A) ∈ d nên y_A = y'(x₀)(x - x₀) + y₀ giải phương trình này ta tìm được x₀.

Bước 3. Thế x₀ vào (∗∗) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Bài toán 4 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số (C₁) : y = f(x) và (C₂) : y = g(x).

Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của (C₁), (C₂) và x₀ là hoành độ tiếp điểm của d và (C₁) thì phương trình d có dạng y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀) (∗∗∗)

Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và (C₂), tìm được x₀

Bước 3. Thế x₀ vào (∗∗∗) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Lưu ý:

- Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M(x₀,y₀) thuộc (C) là: k = y'(x₀)

- Cho đường thẳng (d) : y = ax + b

- Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

- Cho hàm số bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

+) Khi a > 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

+) Khi a < 0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

2. Công thức tính nhanh.

Bài toán 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến Δ tại M thuộc (C) và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luôn có:

- Nếu Δ ⊥ IM thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) đối xứng qua I và

- M luôn là trung điểm của AB (với A,B là giao điểm của Δ với 2 tiệm cận).

- Diện tích tam giác IAB không đổi với mọi điểm M và

- Nếu E,F thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) và E,F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại E,F song song với nhau (suy ra một đường thẳng d đi qua E,F thì đi qua tâm I).

Chứng minh:

- Ta có là giao điểm của 2 tiệm cận.

- Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

Ta có:

Lại có:

- Giao điểm của Δ với tiệm cận ngang là

- Giao điểm của Δ với tiệm cận đứng là

- Xét

Vậy M luôn là trung điểm của AB.

Ta có:

ΔIAB vuông tại I

Vậy diện tích ΔIAB không đổi với mọi điểm M.

Ta có:

( E,F đối xứng qua I).

- Phương trình tiếp tuyến tại E có hệ số góc:

- Phương trình tiếp tuyến tại F có hệ số góc:

Từ (1) và (2) suy ra k_E = k_F .

Bài toán 2: Cho hàm số có đồ thị là (C), (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) . Gọi điểm M(x₀;y₀) trên (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho OA = nOB . Khi đó x₀ thoả mãn

Chứng minh:

- Xét hàm số

- Gọi là điểm cần tìm. Gọi Δ tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình

B. VÍ DỤ MINH HOẠ.

Ví dụ 1.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² - 3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương trình là:

Lời giải

Gọi H(x₀ ;y₀) ta có y₀ = 21 nghĩa là x₀⁴ + 2x₀² - 3 = 21

Giải phương trình . Đồng thời y' = 4x³ + 4x, suy ra

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là y = 40x - 59 và y = -40x - 101.

Chọn B.

Ví dụ 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x³ - x² - 7x + 1 tại điểm A(0;1) là

A. y = x + 1. B. y = -7x + 1 C. y = 1 D. y = 0

Lời giải

Theo giả thiết ta có x₀ = 0; y₀ = 1 và y' = 9x² - 2x - 7 → y'(0) = -7

Vậy phương trình tiếp tuyến là y = -7x + 1

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi điểm M(x₀;y₀) với x₀ > -1 là điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB có trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0. Hỏi giá trị của x₀ + 2y₀ bằng bao nhiêu?

Lời giải

- Gọi với x₀ ≠ -1 là điểm cần tìm.

- Gọi Δ tiếp tuyến của (C) tại M ta có phương trình.

- Gọi Δ = Δ ∩ Ox =>

- Khi đó Δ tạo với hai trục tọa độ ΔOAB có trọng tâm là

- Do G thuộc đường thẳng

Vì x₀ > -1 nên chỉ chọn

Chọn A.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) : y = x³ - 2x + 3 tại điểm M(1;2) là:

A. y = 2x + 2 . B. y = 3x - 1 C. y = x + 1 D. y = 2 - x

Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2, có hệ số góc:

A. -1 . B. -3 . C. 3. D. 5.

Câu 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số . Có hai tiếp tuyến của (C) cùng có hệ số góc bằng Đó là các tiếp tuyến:

Câu 4. Cho hàm số y = 2x³ + 3x² - 4x + 5 có đồ thị là (C). Trong số các tiếp tuyến của (C), có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng:

A. -3,5 . B. -5,5 C. -7,5 D. -9,5

Câu 5. Cho hàm số y = x³ - 6x² + 9x có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d : y = 9x có phương trình:

A. y = 9x + 40. B. y = 9x - 40 C. y = 9x + 32. D. y = 9x - 32.

Câu 6. Cho hàm số y = x³ + 3x² + 1 có đồ thị là (C). Gọi Δ là tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;5) và B là giao điểm thứ hai của với V. Diện tích tam giác OAB bằng:

A. 5. B. 6. C. 12. D. 6√82.

Câu 7. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua điểm A(4;-1). Gọi M là tiếp điểm của d và (C), toạ độ điểm M là:

Câu 8. Cho hàm số có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến thỏa mãn khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến nó là lớn nhất, có phương trình:

A. y = -x + 2 hoặc y = -x - 2. B. y = -x + 2 hoặc y = -x - 1.

C. y = x + 2 hoặc y = x - 2. D. y = -x + 1 hoặc y = -x - 1.

Câu 9. Từ điểm kẻ đến đồ thị hàm số hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì tập tất cả các giá trị của m bằng:

Câu 10. Cho hàm số y = x⁴ - 2m²x² + 2m + 1 có đồ thị (C). Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d : x = 1 song song với đường thẳng Δ : y = -12x + 4 là?

A. m = 0 . B. m = 1. C. m = ±2. D. m = 3

Câu 11. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tại điểm M(-2;-4) thuộc (C), tiếp tuyến của (C) song song với đ­ường thẳng d : 7x - y + 5 = 0. Khi đó biểu thức liên hệ giữa a và b là:

A. b - 2a = 0 B. a - 2b = 0 C. b - 3a = 0 D. a - 3b = 0

Câu 12. Cho hàm số có đồ thị là (C). Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;-2) song song với đường thẳng d : 3x + y - 4 = 0. Khi đó giá trị của a + b bằng:

A. 2. B. 1. C. -1. D. 0.

Câu 13. Cho hàm số có đồ thị là (C). Nếu (C) đi qua A(3;1) và tiếp xúc với đư­ờng thẳng d : y = 2x - 4, thì các cặp số (a;b) theo thứ tự là:

A. (2;4) hoặc (10;28). B. (2;-4) hoặc (10;-28).

C. (-2;4) hoặc (-10;28) D. (-2;-4) hoặc (-10;-28).

Câu 14. Cho hàm số có đồ thị (C) .Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt M(x₁,y₁), N(x₂, y₂) (M,N khác A) thỏa mãn

A. 0. B. 2 C. 3 D. 1

Câu 15. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 3x - 2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương trình là

A. y = -9x + 14 . B. y = 9x + 14.

C. y = -9x + 22. D. y = 9x + 22

Câu 16. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương trình là

Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng x + 2y - 9 = 0 có phương trình là

A. y = -48x + 192 . B. y = -48x + 160

C. y = -48x - 160. D. y = -48x - 192

Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4.

Câu 19. Cho hàm b y = 2x³ - 3x - 1 có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng x + 21y - 2 = 0 có phương trình là:

Câu 20. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x² tại giao điểm của đồ thị với trục Ox ?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.

Câu 21. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): tại giao điểm A của (C) và trục hoành. Khi đó, phương trình của đường thẳng d là

Câu 22. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): tại giao điểm M của (C) với trục tung là

Câu 23. Cho hàm số y = x³ - 3x² + 6x + 1 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là

A. y = -3x + 2 . B. y = 3x + 2.

C. y = -3x + 8. D. y = 3x + 8.

Câu 24. Cho hàm số y = -x³ + 6x² + 3x - 1 có đồ thị (C).Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là

A. y = 15x + 55 . B. y = -15x - 5

C. y = 15x - 5. D. y = -15x + 55.

Câu 25. Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc 60⁰ có phương trình là

Câu 26. Cho hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m+ 1)x + 1 (1), m là tham số. Kí hiệu (C_m) là đồ thị hàm số (1) và K là điểm thuộc (C_m), có hoành độ bằng -1. Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (C_m) tại điểm K song song với đường thẳng d : 3x + y = 0 là

Câu 27. Cho hàm số y = 3x - 4x³ có đồ thị (C). Từ điểm M(1;3) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ?

A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 28. Cho hàm số y = x³ - x² + x + 1 có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M(-1;-2). Khi đó tọa độ điểm N là

A. (-1;-4). B. (2;5). C. (1;2). D. (0;1).

Câu 29. Cho hàm số có đồ thị (C) và gốc tọa độ O. Gọi Δ là tiếp tuyến của (C), biết Δ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân. Phương trình Δ là

A. y = x + 1 . B. y = x + 4 C. y = x - 4 D. y = x

Câu 30. Cho hàm số y = -x⁴ - x² + 6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA có phương trình là:

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị là (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d₁ : 3x + 4y - 2 = 0 bằng 2.

A. 2. B. 3. C. 4. D. 0.

Câu 32. Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI ?

Câu 33. Cho hàm số có đồ thị là (C), đường thẳng d : y = x + m. Với mọi m ta luôn có d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B. Gọi k₁,k₂ lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại . Tìm m để tổng k₁ + k₂ đạt giá trị lớn nhất.

A. m = -1 . B. m = -2. C. m = 3. D. m = -5.

Câu 34. Cho hàm số .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

A. y = -x - 2 . B. y = -x C. y = -x + 2 D. y = -x + 1

Câu 35. Cho hàm số có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục lần lượt tại các điểm Ox và Oy thoả mãn OA = 4OB.

Câu 36. Cho hàm số có đồ thị (C). Biết khoảng cách từ I(-1;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất?

A. 3e . B. 2e . C. e . D. 4e .

Câu 37. Cho hàm số có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A,B sao cho ngắn nhất. Khi đó, độ dài lớn nhất của vectơ gần giá trị nào nhất ?

A. 7. B. 5. C. 6. D. 4.

Câu 38. Cho hàm số có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số (C) tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến Δ bằng?

A. √3 . B. 2√6 . C. 2√3 . D. √6 .

Câu 39. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến Δ của (C) cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến Δ gần giá trị nào nhất?

A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.

Câu 40. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến Δ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó tiếp tuyến Δ của (C) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào?

A. (27;28) . B. (28;29). C. (26;27) . D. (29;30) .

Đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	B	C	B	D	C	B	A	B	C
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
D	A	B	B	A	C	B	D	C	D
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
D	C	B	A	C	B	C	C	B	C
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
C	C	A	A	A	C	D	D	D	A