Tìm 1 họ nguyên hàm của hàm số sau x dx / ( căn (x + 3) + căn (5 x + 3))

Câu hỏi:

Tìm 1 nguyên hàm của hàm số sau $K=\int \frac{xdx}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x+3}}$

A. $\frac{1}{-6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}-\sqrt{{(x+3)}^3}\right)$

B. $\frac{1}{6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}+\sqrt{{(x+3)}^3}\right)+1$

C. $\frac{1}{6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}-\sqrt{{(x+3)}^3}\right)-10$

D. $\frac{1}{6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle -5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}-\sqrt{{(x+3)}^3}\right)+8$

Trả lời:

Chọn C

Ta có 

$$\begin{gathered} K=\int \frac{x(\sqrt{5x+3}-\sqrt{x+3})dx}{5x+3-x-3} \\ =\frac{1}{4}\int \left(\sqrt{5x+3}-\sqrt{x+3}\right)dx \\ =\frac{1}{6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}-\sqrt{{(x+3)}^3}\right)+C \end{gathered}$$

Cho C = -10, ta được một nguyên hàm là

 $\frac{1}{6}\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 5}}\sqrt{{(5x+3)}^3}-\sqrt{{(x+3)}^3}\right)-10$