Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

Với Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng tích phân trong hình học - Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

b) Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c; y = d quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

Chú ý: Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0; x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x); x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục hoành quanh trục Ox là:

A. 48π.     B. 36π.     C. 24π.     D. 6π.

Lời giải

Ví dụ 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos2x; x = 0; x = π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.

Lời giải

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² + 1; y = 0; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải

Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x² + x; y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải

Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải

Ví dụ 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx; y = 0; x = 0; x = π/4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải:

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x√lnx; y = 0; x = e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải:

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x²; y² = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải:

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải:

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Lời giải: