Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=4 và điểm A(2,2,2) Từ

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$ và điểm $A (2; 2; 2) .$ Từ A kẻ ba tiếp tuyến $A B, A C, A D$ với mặt cầu $(B, C, D$ là các tiếp điểm). Phương trình mặt phẳng $(B C D)$ là

A. $2 x + 2 y + z - 1 = 0$ .

$2 x + 2 y + z - 3 = 0$ .

$2 x + 2 y + z + 1 = 0$ .

$2 x + 2 y + z - 5 = 0$ .

Trả lời:

Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm (0;0;1) và bán kính $R = 2$ .

Do $A B, A C, A D$ là ba tiếp tuyến của mặt cầu $(S)$ với $B, C, D$ là các tiếp điểm nên

$\{\begin{array}{l} A B = A C = A D \\ I B = I C = I D = R \end{array} \Rightarrow I A$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D .$

$\Rightarrow I A ⊥ (B C D)$

Khi đó mặt phẳng $(B C D)$ có một vectơ pháp tuyến $\vec{n} = \vec{I A} = (2; 2; 1)$ .

Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow J \in I A$ và $I J ⊥ B J .$

Ta có $Δ I B A$ vuông tại B và $B J ⊥ I A$ nên

$I B^{2} = I J . I A \Rightarrow I J = \frac{I B^{2}}{I A} = \frac{4}{3} \Rightarrow \vec{I J} = \frac{4}{9} \vec{I A}$

Đặt $J (x; y; z) .$ Ta có $\vec{I J} = (x; y; z - 1); \vec{I A} = (2; 2; 1)$ .

Từ $\vec{I J} = \frac{4}{9} \vec{I A}$ suy ra $J (\frac{8}{9}; \frac{8}{9}; \frac{13}{9})$ .

Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $J (\frac{8}{9}; \frac{8}{9}; \frac{13}{9})$ và nhận vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 2; 1)$ có phương trình:

$2 (x - \frac{8}{9}) + 2 (y - \frac{8}{9}) + (z - \frac{13}{9}) = 0 \Rightarrow 2 x + 2 y + z - 5 = 0$

Chọn D.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian Oxyz một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

$\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1$ là

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho ba điểm A(2,1,-1), B(-1,0,4), C(0,-2,1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm $A (1; - 3; 2), B (3; 5; - 2) .$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng $x + a y + b z + c = 0.$

Khi đó $a + b + c$ bằng

Xem lời giải »

Câu 4:

Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm $A (1; 1; 1)$ có phương trình là

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 11 = 0.$ Xét điểm M di động trên $(P)$ và các điểm $A, B, C$ phân biệt di động trên $(S)$ sao cho $A M, B M, C M$ là các tiếp tuyến của $(S) .$ Mặt phẳng $(A B C)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3) . Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (3; 0; 0), N (2; 2; 2)$ . Mặt phẳng (P) thay đổi qua $M, N$ cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $b, c \neq 0.$ Hệ thức nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho G là trọng tâm tứ diện $O A B C$ là

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=4 và điểm A(2,2,2) Từ

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: