Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu :(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=12 và mặt phẳng

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 11 = 0.$ Xét điểm M di động trên $(P)$ và các điểm $A, B, C$ phân biệt di động trên $(S)$ sao cho $A M, B M, C M$ là các tiếp tuyến của $(S) .$ Mặt phẳng $(A B C)$ luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

A. $(\frac{1}{4}; - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$ .

(0; - 1; 3)

(\frac{3}{2}; 0; 2)

(0; 3; - 1)

Trả lời:

Mặt cầu $(S)$ có tâm (1;1;1) và bán kính $R = 2 \sqrt{3}$ .

Xét điểm

M (a; b; c) \in (P); A (x; y; z) \in (S)

nên ta có hệ điều kiện:

$\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 \\ A I^{2} + A M^{2} = I M^{2} \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 (1) \\ 12 + {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} (2) \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 (3) \end{cases}$

Lấy (1) $- (2)$ ta có:

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - [12 + {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}] = 12 - [{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2}] \Leftrightarrow (a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$

Vậy mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm là: $(Q) : (a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Chọn D.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian Oxyz một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

\frac{x}{- 2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1

là

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho ba điểm A(2,1,-1), B(-1,0,4), C(0,-2,1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm $A (1; - 3; 2), B (3; 5; - 2) .$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng $x + a y + b z + c = 0.$

Khi đó $a + b + c$ bằng

Xem lời giải »

Câu 4:

Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm $A (1; 1; 1)$ có phương trình là

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1,2,3) . Gọi A,B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M (3; 0; 0), N (2; 2; 2)$ . Mặt phẳng (P) thay đổi qua $M, N$ cắt các trục $O y, O z$ lần lượt tại $B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $b, c \neq 0.$ Hệ thức nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1,4,3). Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ $O x, O y, O z$ lần lượt tại $A, B, C$ sao cho G là trọng tâm tứ diện $O A B C$ là

Xem lời giải »

Câu 8:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu :(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=12 và mặt phẳng

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: