Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại ba điểm A,B,C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 có giá trị nhỏ nhất.
B. (P):x+2y+3z−14=0 .
C. (P):x+2y+3z−11=0 .
D. (P):x+y+3z−14=0 .
Trả lời:
Gọi H là trực tâm ΔABC.
Ta có {BH⊥ACOB⊥AC⇒AC⊥(OBH)⇒AC⊥OH (1).
Chứng minh tương tự, ta có: BC⊥OH(2) .
Từ (1), (2) ta có OH⊥(ABC) .
Suy ra 1OA2+1OB2+1OC2=1OH2 .
Vậy để biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2 đạt giá trị nhỏ nhất thì OH đạt giá trị lớn nhất. Mà OH≤OM nên OH đạt giá lớn nhất bằng OM hay H≡M.
Khi đó OM⊥(ABC) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là →OM=(1;2;3) .
Phương trình mặt phẳng (P) là
1(x−1)+2(y−2)+3(z−3)=0⇔x+2y+3z−14=0
Chọn B.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Trong không gian Oxyz một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng x−2+y−1+z3=1 là
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho ba điểm A(2,1,-1), B(-1,0,4), C(0,-2,1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Xem lời giải »
Câu 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1;−3;2),B(3;5;−2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có dạng x+ay+bz+c=0.
Khi đó a+b+c bằng
Xem lời giải »
Câu 4:
Trong không gian mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) và đi qua điểm A(1;1;1) có phương trình là
Xem lời giải »
Câu 5:
Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua điểm M(4;−4;1) và chắn trên ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội bằng 12?
Xem lời giải »
Câu 6:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1,0,0), B(0,1,0). Mặt phẳng x+ay+bz+c=0 đi qua các điểm A,B đồng thời cắt tia Oz tại C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 16. Giá trị của a+3b−2c là
Xem lời giải »
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x−y+2z−3=0 . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho ba điểm A(2;1;−1),B(−1;0;4),C(0;−2;−1). Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là
Xem lời giải »
