Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải - Toán lớp 12

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax³ + bx² + cx + d(a ≠ 0)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b

Gọi (x₁;y₁) và (x₂;y₂) là các điểm cực trị thì f'(x₁) = f'(x₂) = 0

Do đó, ta có

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x³ - 2x² - x + 1

Lời giải

Ta có y' = 3x² - 4x - 1, y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y' ta được

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x - m³ có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

AB: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y' = 6x² + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ 9(m - 1)² - 36(m - 2) > 0 ⇔ 9(m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2y - 5 = 0

Lời giải

Ta có: y' = 3x² - 6x + m; y' = 0 ⇔ 3x²-6x + m = 0

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3(*)

Thực hiện phép chia y cho y', suy ra phương trình AB:

Đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 được viết lại

Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là (thỏa mãn (*))

Với m = 0 hàm số có dạng y = x³ - 3x² có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)

Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.