Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = căn ( ln^2 x+1).lnx/ x

Câu hỏi:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{\ln x}{x}$ thoả mãn $F (1) = \frac{1}{3}$ . Giá trị của $F^{2} (e)$ là

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{8}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Trả lời:

Chọn A

Đặt $t = \sqrt{\ln^{2} x + 1}$ $\Rightarrow t^{2} = \ln^{2} x + 1$ $\Rightarrow t d t = \frac{\ln x}{x} d x$

$\int \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{\ln x}{x} d x = \int t^{2} d t = \frac{t^{3}}{3} + C = \frac{{(\sqrt{\ln^{2} x + 1})}^{3}}{3} + C$

Vì $F (1) = \frac{1}{3}$ nên $C = 0$

Vậy $F^{2} (e) = \frac{8}{9}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Hàm số $f (x) = \frac{\cos x}{\sin^{5} x}$ có một nguyên hàm F(x) bằng

Xem lời giải »

Câu 2:

Kết quả tính $\int 2 x \sqrt{5 - 4 x^{2}} d x$ bằng

Xem lời giải »

Câu 3:

Kết quả $\int e^{\sin x} \cos x d x$ bằng

Xem lời giải »

Câu 4:

Tính $\int \tan x d x$ bằng

Xem lời giải »

Câu 5:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: $I = \int (x + 1) \sqrt[3]{3 - 2 x} d x$

Xem lời giải »

Câu 6:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $J = \int \frac{x d x}{\sqrt[3]{2 x + 2}}$

Xem lời giải »

Câu 7:

Tìm 1 nguyên hàm của hàm số sau $K = \int \frac{x d x}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 x + 3}}$

Xem lời giải »

Câu 8:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau $I = \int \sin^{3} x \cos^{5} x d x$

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = căn ( ln^2 x+1).lnx/ x

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: