Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x/ căn(8-x^2) thoả mãn F (2) = 0

Câu hỏi:

Biết $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{8-x^2}}$ thoả mãn $F\left(2\right)=0$. Khi đó phương trình $F\left(x\right)=x$ có nghiệm là

A. x = 3

B. x = 1

C. x = -1

D. Tất cả sai

Trả lời:

Chọn D

Đặt $t=\sqrt{8-x^2}$$\Rightarrow t^2=8-x^2$$\Rightarrow -tdt=xdx$

$$\begin{gathered} \int \frac{x}{\sqrt{8-x^2}}dx=-\int \frac{tdt}{t} \\ =-t+C=-\sqrt{8-x^2}+C \end{gathered}$$

Vì $F\left(2\right)=0$ nên $-\sqrt{8-4}+C=0$ suy ra C = 2.

Ta có phương trình $-\sqrt{8-x^2}+2=x$

$\begin{array}{l}\sqrt{8-x^2}-2-x\\ \Rightarrow 8-x^2={\left(2-x\right)}^2\\ \iff x^2-2x-2=0\end{array}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=1-\sqrt{3}\\ x=1+\sqrt{3}\end{array}\right.$

Thử lại ta thấy $x=1-\sqrt{3}$ thỏa mãn 

Vậy nghiệm của phương trình là $x=1-\sqrt{3}$.