Cho a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = 25; c2 + d2 = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Câu hỏi:

Cho a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = 25; c² + d² = 16; ac + bd ≥ 20. Tìm max a + d.

Trả lời:

Đặt $\{\begin{cases} a = 5 \cos α \\ b = 5 \sin α \end{cases}; \{\begin{cases} c = 4 \cos β \\ d = 4 \sin β \end{cases} (0 \leq α, β \leq 2 π)$

Từ ac + bd ≥ 20 ta có: 20cosα.cosβ + 20sinα.sinβ ≥ 20

⇔ 20cos(α – β) ≥ 20

Vậy cos(α – β) = 1 ⇔ α – β = k2π (k ∈ ℤ) ⇔ α = β + k2π

Suy ra: $\{\begin{cases} \cos α = \cos β \\ \sin α = \sin β \end{cases}$

Ta có: a + d = 5cosα + 4sinβ = 5cosα + 4sinα ≤ $\sqrt{5^{2} + 4^{2}} . \sqrt{\cos^{2} α + \sin^{2} α} = \sqrt{41}$

Dấu “=” khi: $\{\begin{cases} \frac{\cos α}{5} = \frac{\sin α}{4} \\ 5 \cos α + 4 \sin α = \sqrt{41} \end{cases}$

Vậy max a + d = $\sqrt{41}$ khi $a = 5 \cos α = \frac{25}{\sqrt{41}}; d = 4 \sin β = \frac{16}{\sqrt{41}}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\overset{⏜}{A P} = \overset{⏜}{B N}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức $S = \frac{1}{R (3)} + \frac{1}{R (4)} + ... + \frac{1}{R (2022)} + \frac{1}{R (2023)}$