Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a2 + b2 + c2 = 29 và abc = 11. Tính a5 + b5 + c5.

Câu hỏi:

Cho các số thực a, b, c sao cho a + b + c = 3; a² + b² + c² = 29 và abc = 11. Tính a⁵ + b⁵ + c⁵.

Trả lời:

Xét: ab + bc + ca = $\frac{1}{2} [{(a + b + c)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})] = \frac{1}{2} . (3^{2} - 29) = - 10$

Suy ra: a²b² + b²c² + c²a² = (ab + bc + ca)² – 2abc(a + b + c) = (-10)² – 2.11.3 = 34

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = 3.(29 + 10) = 117

Suy ra: a³ + b³ + c³ = 150

Xét a⁵ + b⁵ + c⁵ = (a³ + b³ + c³)(a² + b² + c²) – [( a²b² + b²c² + c²a²)(a + b + c) – abc(ab + ac + bc) = 150.29 – [(34.3 – 11.(-10)] = 4138.

Vậy a⁵ + b⁵ + c⁵ = 4138.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\overset{⏜}{A P} = \overset{⏜}{B N}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức $S = \frac{1}{R (3)} + \frac{1}{R (4)} + ... + \frac{1}{R (2022)} + \frac{1}{R (2023)}$