Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: căn(a^3/b^3 căn b^3/c^3 + căn c^3/a^3 lớn hơn bằng a b b c c a
Câu hỏi:
Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: .
Trả lời:
Đặt
BĐT cần chứng minh trở thành: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 với xyz = 1
Thật vậy, áp dụng BĐT Côsi:
(x3 + y3 + z3)(x + y + z) ≥ (x2 + y2 + z2)2
⇔ x3 + y3 + z3 ≥
Theo BĐT AM-GM có:
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xz
⇔ 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2
⇔ x2 + y2 + z2 ≥ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Chứng minh rằng A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027 chia hết cho 11, 23 và 2023.
Xem lời giải »
Câu 4:
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD
a) Chứng minh rằng AF // CE.
b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.
Xem lời giải »
Câu 6:
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, SC.
a) Xác định giao điểm I, K của AN, MN với (SBD).
b) Tính tỉ số .
c) Chứng minh B, I, K thẳng hàng. Tính tỉ số Xem lời giải »
Câu 7:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(−1;1); B(3;1); C(2;4). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Xem lời giải »
Câu 8:
Một chữ nhật hình có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Tăng chiều dài và chiều rộng lên 2m thì diện tích tăng thêm 94m2. Tinh chu vi và diện tích ban đầu của hình chữ nhật đó?
Xem lời giải »
