Cho ΔABC cân tại A có AB = 5cm; BC = 6cm. Kẻ phân giác trong AM (M ∈ BC). Gọi O là trung điểm của AC và K là điểm đối xứng của M qua O.

a) Vì M là trung điểm của BC nên:

BM = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)$

Tam giác ABC cân tại A, lại có AM là đường phân giác nên AM cũng là đường cao. Do đó tam giác AMB vuông tại M.

Suy ra: AM² = AB² - BM² (Định lí Pytago)

= 52 - 32 = 16(cm)

Suy ra AM = 4cm

S_ABC = $\frac{1}{2}.AM.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.4.6}=12\left(c{m}^2\right)$

ΔAMC vuông tại M có MO là đường trung tuyến nên OM = OA.

Suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{OMA}$( ΔAMO cân tại O)

Lại có $\widehat{OAM}=\widehat{MAB}$ (AM là tia phân giác góc BAC)

Suy ra $\widehat{OMA}=\widehat{MAB}$

Mà đây là 2 góc ở vị trí so le trong

Suy ra OM // AB

Vậy tứ giác ABMO là hình thang.

c) Tứ giác AMCK có OA = OC; OM = OK nên tứ giác AMCK là hình bình hành .

Lại có $\widehat{AMC}=90°$ (chứng minh trên) nên tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật AMCK là hình vuông

⇔ AM = MC = BM

⇔ AM = $\frac{1}{2}BC$

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.