Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2^x +2^y =4

Câu hỏi:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $2^{x} + 2^{y} = 4$ . Tìm giá trị lớn nhất $P_{m i n}$ của biểu thức $P = (2 x^{2} + y) (2 y^{2} + x) + 9 x y$

A. 18

B. 12

C. 27

D. $\frac{27}{2}$

Trả lời:

Ta có phương trình $2^{x} - 2 = 2 - 2^{y}$

Đặt

$\{\begin{cases} f (x) = 2^{x} - 2 \\ g (y) = 2 - 2^{y} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} f' (x) = 2^{x} \ln 2 > 0, \forall x \\ g' (y) = - 2^{y} \ln 2 < 0, \forall y \end{cases}$

Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến với mọi x và hàm số g(y) luôn nghịch biến với mọi y.

$\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Lại có:

$\{\begin{cases} f (1) = 0 \\ g (1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P_{m i n} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P = 18$

Đáp án cần chọn là: A.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hàm số $y = e^{- x} . \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho giới hạn $I = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} - e^{2 x}}{x}$ , chọn mệnh đề đúng:

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} > a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ và $\log_{b} \frac{3}{4} < \log_{b} \frac{4}{5}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = 2^{x} . 7^{x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số $y = e^{c o s x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hàm số $f (x) = 4 \ln (\sqrt{x - 4} + \sqrt{x}) + \sqrt{x^{2} - 4 x}$ với $x \geq 4$ . Tính giá trị của biểu thức $P = f (4) - {[f' (8)]}^{2} . \ln 2$

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x + 1 + \ln x}$ với x > 0. Khi đó $- \frac{y'}{y^{2}}$ bằng

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hàm số $f (x) = \ln (e^{x} + πm)$ thỏa mãn $f' (\ln 3) = 3$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2^x +2^y =4

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: