Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng $(A B C D)$ trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng $(A B C D)$ góc $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

V = \frac{a^{3}}{3}

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9}

D. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{9}$ .

Trả lời:

Media VietJack

Gọi $O = A C \cap B D$ ; M là trung điểm AB. Suy ra $H = B O \cap C M$ .

Theo giả thiết $S H ⊥ (A B C D)$ nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy $(A B C D)$ là HD. Do đó $30^{0} = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H} .$

Tam giác ABC và ADC đều cạnh a, suy ra

$\{\begin{cases} O D = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ O H = \frac{1}{3} B O = \frac{a \sqrt{3}}{6} \end{cases} \Rightarrow H D = O D + O H = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Tam giác vuông SHD, có $S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{2 a}{3}$ .

Diện tích hình thoi $S_{A B C D} = 2 S_{Δ A B C} = 2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S H = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{9} .$ Chọn C.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, $S A = 4, A B = 6, B C = 10$ và $C A = 8$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh

A B = a

B C = 2 a

. Hai mặt bên

(S A B)

và

(S A D)

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy

(A B C D)

, cạnh SA. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC, $A D = 2 a, A B = B C = C D = a .$ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và SD tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ góc $45^{0}$ . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao cho $H A = 3 H D$ . Biết rằng $S A = 2 a \sqrt{3}$ và SC tạo với đáy một góc bằng $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy và $S A = A B = a$ . Gọi N là trung điểm SD, đường thẳng AN hợp với đáy $(A B C D)$ một góc $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng $(S A B)$ một góc bằng $30^{0}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: