Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3(x+y)=log(x^2+y^2) ?

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn $\log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2})$ ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. Vô số

Trả lời:

Chọn B.

Điều kiện: $\{\begin{cases} x + y > 0 \\ x^{2} + y^{2} > 0 \end{cases} .$

Điều kiện cần

Đặt $t = \log_{3} (x + y) = \log_{4} (x^{2} + y^{2}) \Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 3^{t} (d) \\ x^{2} + y^{2} = 4^{t} (C) \end{cases}$ .

Suy ra $x, y$ tồn tại nếu đường thẳng d cắt đường tròn $(C)$ tại ít nhất một điểm.

Hay $\frac{|- 3^{t}|}{\sqrt{2}} \leq 2^{t} \Rightarrow t \leq \log_{\frac{3}{2}} \sqrt{2} \approx 0, 8548.$

Khi đó:

x^{2} + y^{2} \leq 4^{^{\log_{\frac{3}{2}} \sqrt{2}}} \approx 3, 27 \Rightarrow \{\begin{cases} 0 \leq x^{2} \leq 3 \\ x \in ℤ \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array} .

Điều kiện đủ:

 Với $x = - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} + 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 4^{t} - 1 > 0 \\ 4^{t} - 1 = {(3^{t} + 1)}^{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t > 0 \\ f (t) = 9^{t} + {2.3}^{t} + 2 - 4^{t} = 0 \end{cases}$ .

Khi $0 < t < 0, 8548 \Rightarrow 9^{t} \geq 4^{t} \Rightarrow f (t) > 0$ . Suy $x = - 1 (l)$ .

 Với $x = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} \\ y^{2} = 4^{t} \end{cases} \Rightarrow 4^{t} = 3^{t} \Rightarrow t = 0 \Rightarrow y = 1 (t / m)$ .

 $x = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y = 3^{t} - 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} \Rightarrow y = t = 0 (t / m)$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Với a là số thực dương tùy ý,

\log_{2} 2 a

bằng

Xem lời giải »

Câu 2:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 6) = 5$ là

Xem lời giải »

Câu 3:

Với

a, b

là các số thực dương tùy ý thỏa mãn

\log_{3} a - 2 \log_{9} b = 3

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 4:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (36 - x^{2}) \geq 3$ là

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho phương trình $\log_{2}^{2} (2 x) - (m + 2) \log_{2} x + m - 2 = 0$ (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[1; 2]$ .

Xem lời giải »

Câu 6:

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 2000$ và $\log_{3} (3 x + 3) + x = 2 y + 9^{y}$ ?

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho phương trình Cho phương trình log9x^2-log3(3x-1)=-log3m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình (ảnh 1) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho phương trình Cho phương trình (4log2^2x+logx-5)căn 7^x-m =0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để (ảnh 1) ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3(x+y)=log(x^2+y^2) ?

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: