Theo phương pháp đổi biến số với t= cosx, u=sinx, nguyên hàm của ( tanx + cosx) dx là:

Theo phương pháp đổi biến số với $t=\cos x,u=\sin x$, nguyên hàm của $I=\int \left(\tan x+\cot x\right)dx$ là:

Phân tích:

Ta có:$\int \left(\tan x+\cot x\right)dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx+\int \frac{\cos x}{\sin x}dx$.

Xét $I_1=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx$. Đặt $t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\Rightarrow I_1=-\int \frac{1}{t}dt=-\ln \left|t\right|+C_1$.

Xét $I_2=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx$. Đặt $u=\sin x\Rightarrow du=\cos xdx\Rightarrow I_2=\int \frac{1}{u}du=\ln \left|u\right|+C_2$.

$\Rightarrow I=I_1+I_2=-\ln \left|t\right|+\ln \left|u\right|+C$

Đáp án đúng là A.