Tính I=∫1 2 dx / x(x+1)^2

Câu hỏi:

Tính $I={\int }_1^2\frac{dx}{x{\left(x+1\right)}^2}$

A. ln4-2

B. ln3-1

C. ln4-ln3+1                     

D. Đáp án khác

Trả lời:

Chọn D.

Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{\left(x+1\right)}+\frac{C}{{\displaystyle {\left(x+1\right)}^2}} \\ \iff 1=A{\left(x+1\right)}^2+Bx\left(x+1\right)+Cx (*) \end{gathered}$$

Cách 1:

$(*)\iff 1=\left(A+B\right)x^2+\left(2A+B+C\right)x+A.$

$\forall x\ne \left\{-1;0\right\}$ ta có hệ sau:

Cách 2:

Cho x = 0: thay vào (*) ta được: A = 1

Với A = 1 và cho x = -1: thay vào (*) ta được: C = -1.

Với A = 1 và C = -1, ta cho x = 1 => B = -1.

$\Rightarrow \frac{1}{x{\left(x+1\right)}^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Vậy